Moment Maps and Combinatorial Invariants of Hamiltonian Tn-spaces

عملکرد یک گروه Lie فشرده، G، بر روی یک منیفولد جمع و جور سمپلتیک باعث ایجاد برخی متغیرهای ترکیبی قابل توجه می شود. ساده‌ترین و جالب‌ترین آنها چند وجهی لحظه‌ای است، یک چندوجهی محدب که در داخل جبر دروغ G قرار دارد. یکی از اهداف اصلی این تک‌نگار توصیف انواع اطلاعات هندسی است. در این پلی توپ کدگذاری می شوند. به عنوان مثال، فصل اول عمدتاً به قضیه دلزانت اختصاص دارد که می‌گوید بین انواع خاصی از چند توپ‌های خمشی و انواع خاصی از فضاهای ترکیبی G یک تناظر وجود دارد. (یکی از چالش برانگیزترین مسائل حل نشده در هندسه سمپلتیکی این است که تعیین کنیم قضیه دلزانت تا چه اندازه در مورد هر G-فضای فشرده و فشرده صادق است.)

لحظه پلی توپ همچنین کوانتومی را رمزگذاری می کند. اطلاعات مربوط به اقدامات G. با استفاده از روش‌های کوانتیزاسیون هندسی، می‌توان اغلب این عمل را به یک نمایش p، از G در فضای هیلبرت تبدیل کرد، و به نوعی، چند توپ لحظه‌ای یک نمودار است. تصویری از نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر G که به عنوان نمایش‌های فرعی p رخ می‌دهند. نسخه‌های دقیق این مورد از فولکلور در فصل‌های 3 و 4 مورد بحث قرار می‌گیرد. همچنین، در اواسط فصل 2، موضوع پیچیده‌تری مورد بحث قرار می‌گیرد: اندازه‌گیری Duistermaat-Heckman، و نویسنده در فصل 4 توضیح می‌دهد که چگونه می‌توان از این معیار برداشت کرد. چندگانگی تقریبی که با آنها نمایش های تقلیل ناپذیر G در p رخ می دهد. این بهانه ای برای دست زدن به برخی از نتایج است که به خودی خود مورد توجه فعلی هستند: قضیه Duistermaat-Heckman، قضایای محلی سازی در هم شناسی معادل Atiyah-Bott و Berline-Vergne و تعمیم های بسیار هیجان انگیز اخیر این نتایج توسط Witten، جفری-کیروان، لالکمن و دیگران.

دو فصل آخر این کتاب، پرداختی مستقل و تا حدی غیرمتعارف از نظریه انواع توریک است که در آن رابطه سلسله مراتبی معمول پیچیده به سمپلتیک معکوس شده است. . مخاطب این کتاب پژوهشگران است و می توان از آن به عنوان متن ترم استفاده کرد.

The action of a compact Lie group, G, on a compact sympletic manifold gives rise to some remarkable combinatorial invariants. The simplest and most interesting of these is the moment polytope, a convex polyhedron which sits inside the dual of the Lie algebra of G. One of the main goals of this monograph is to describe what kinds of geometric information are encoded in this polytope. For instance, the first chapter is largely devoted to the Delzant theorem, which says that there is a one-one correspondence between certain types of moment polytopes and certain types of symplectic G-spaces. (One of the most challenging unsolved problems in symplectic geometry is to determine to what extent Delzant’s theorem is true of every compact symplectic G-Space.)

The moment polytope also encodes quantum information about the actions of G. Using the methods of geometric quantization, one can frequently convert this action into a representations, p , of G on a Hilbert space, and in some sense the moment polytope is a diagrammatic picture of the irreducible representations of G which occur as subrepresentations of p. Precise versions of this item of folklore are discussed in Chapters 3 and 4. Also, midway through Chapter 2 a more complicated object is discussed: the Duistermaat-Heckman measure, and the author explains in Chapter 4 how one can read off from this measure the approximate multiplicities with which the irreducible representations of G occur in p. This gives an excuse to touch on some results which are in themselves of great current interest: the Duistermaat-Heckman theorem, the localization theorems in equivariant cohomology of Atiyah-Bott and Berline-Vergne and the recent extremely exciting generalizations of these results by Witten, Jeffrey-Kirwan, Lalkman, and others.

The last two chapters of this book are a self-contained and somewhat unorthodox treatment of the theory of toric varieties in which the usual hierarchal relation of complex to symplectic is reversed. This book is addressed to researchers and can be used as a semester text.