Modular Representation Theory of Finite Groups

نظریه بازنمایی نقشه‌ها را از گروه‌ها به گروه خطی کلی یک فضای برداری با بعد محدود مطالعه می‌کند. برای گروه های محدود، این نظریه به دو شکل مجزا ارائه می شود. در «مورد نیمه ساده» (به عنوان مثال در زمینه اعداد مختلط) می توان از نظریه شخصیت برای درک کامل نمایش ها استفاده کرد. زمانی که مشخصه میدان ترتیب گروه را تقسیم می کند این تا حد زیادی کافی نیست.

نظریه نمایش مدولار گروه های محدود این وضعیت دوم را شامل می شود. ابزارهای اضافی زیادی برای این مورد نیاز است. برای ذکر برخی، استفاده منظم از گروه‌های Grothendieck که منجر به ماتریس Cartan و ماتریس تجزیه گروه می‌شود و همچنین تحلیل مستقیم گرین از بازنمایی‌های تجزیه ناپذیر وجود دارد. همچنین استراتژی نوشتن مقوله همه نمایش‌ها به عنوان محصول مستقیم زیرمجموعه‌های خاص، به اصطلاح «بلوک‌های» گروه وجود دارد. کار Brauer سپس مطابقت هایی را بین بلوک های گروه اصلی و بلوک های زیرگروه های خاص برقرار می کند، فلسفه این است که در نتیجه فرد به موقعیت ساده تری کاهش می یابد. به طور خاص، می توان میزان غیرساده بودن یک دسته یک بلوک را با اندازه و ساختار به اصطلاح «گروه نقص» آن اندازه گیری کرد. همه این مفاهیم برای مثال گروه خطی ویژه ماتریس‌های دو در دو در یک میدان اول محدود به وضوح بیان شده‌اند.

اگرچه ارائه به شدت نسبت به دیدگاه نظری ماژول تعصب دارد، تلاشی است با نشان دادن رویکرد نظری گروهی به خواننده تعادل خاصی برقرار می کند. به ویژه، در مورد گروه های نقص، اثبات دقیقی از هم ارزی این دو رویکرد ارائه شده است.

هدف این کتاب آشنایی دانشجویان در سطح کارشناسی ارشد با نتایج، ابزارها و تکنیک های اساسی یک نظریه زیبا و مهم جبری است. فرض بر این است که برخی از جبر پایه همراه با حالت نیمه ساده شناخته شده هستند، اگرچه همه حقایق مورد استفاده مجدداً (بدون اثبات) در متن بیان شده اند. در غیر این صورت کتاب کاملاً مستقل است.

Representation theory studies maps from groups into the general linear group of a finite-dimensional vector space. For finite groups the theory comes in two distinct flavours. In the 'semisimple case' (for example over the field of complex numbers) one can use character theory to completely understand the representations. This by far is not sufficient when the characteristic of the field divides the order of the group.

Modular Representation Theory of finite Groups comprises this second situation. Many additional tools are needed for this case. To mention some, there is the systematic use of Grothendieck groups leading to the Cartan matrix and the decomposition matrix of the group as well as Green's direct analysis of indecomposable representations. There is also the strategy of writing the category of all representations as the direct product of certain subcategories, the so-called 'blocks' of the group. Brauer's work then establishes correspondences between the blocks of the original group and blocks of certain subgroups the philosophy being that one is thereby reduced to a simpler situation. In particular, one can measure how nonsemisimple a category a block is by the size and structure of its so-called 'defect group'. All these concepts are made explicit for the example of the special linear group of two-by-two matrices over a finite prime field.

Although the presentation is strongly biased towards the module theoretic point of view an attempt is made to strike a certain balance by also showing the reader the group theoretic approach. In particular, in the case of defect groups a detailed proof of the equivalence of the two approaches is given.

This book aims to familiarize students at the masters level with the basic results, tools, and techniques of a beautiful and important algebraic theory. Some basic algebra together with the semisimple case are assumed to be known, although all facts to be used are restated (without proofs) in the text. Otherwise the book is entirely self-contained.