Modular Forms: Spring 2011 Notes (and beyond)

Preface......Page 1
I The basic course......Page 6
Introduction......Page 7
Complex analysis review: Holomorphy......Page 12
Complex analysis review II: Zeroes and poles......Page 15
Periodic functions......Page 17
Doubly periodic functions......Page 21
Elliptic functions to elliptic curves......Page 24
The hyperbolic plane......Page 27
Fractional linear transformations......Page 29
The modular group......Page 32
Congruence subgroups......Page 36
Cusps and elliptic points......Page 40
Modular curves and functions......Page 45
Eisenstein series......Page 50
Modular forms......Page 62
Theta series......Page 67
 and......Page 73
Dimensions for full level......Page 79
Finite dimensionality for congruence subgroups......Page 88
Appendix: Dimension Tables......Page 93
Hecke operators......Page 96
Hecke operators for 0(N)......Page 97
Petersson inner product......Page 107
The Riemann zeta function......Page 114
Dirichlet L-functions......Page 116
The philosophy of L-functions......Page 118
L-functions for modular forms......Page 120
II Selected topics......Page 125
Newforms and oldforms......Page 127
Hecke operators via double cosets......Page 128
Hecke operators on Eisenstein series......Page 131
Atkin–Lehner operators......Page 135
New and old forms......Page 136
Hilbert modular forms......Page 143
Basic definitions and results......Page 144
References......Page 147
Index......Page 150