Modular Forms: Basics and Beyond

این یک کتاب پیشرفته در مورد فرم های مدولار است. در حالی که کتاب های زیادی در مورد فرم های مدولار منتشر شده است، آنها در سطح ابتدایی نوشته شده اند و از نظر خواننده ای که از قبل اصول اولیه را می داند چندان جالب نیست. این کتاب چیز جدیدی ارائه می دهد که ممکن است میل چنین خواننده ای را برآورده کند. با این حال، ما هر تعریف و هر واقعیت اساسی را در مورد اشکال مدولار کلاسیک یک متغیر بیان می کنیم.

یکی از ویژگی های جدید اصلی این کتاب، نظریه اشکال مدولار وزن نیمه انتگرال است، یکی دیگر از موارد بحث توابع تتا و سری آیزنشتاین از انواع هولومورف و غیرهولومورف است. بنابراین کتاب ارائه شده است تا خواننده بتواند چنین نظریه هایی را به طور سیستماتیک بیاموزد. در نهایت، ما روی دو موضوع زیر تمرکز می کنیم:

(I) مطابقت بین اشکال وزن نیمه انتگرال و وزن انتگرال.

(II) حسابی سری های مختلف دیریکله مرتبط با اشکال مدولار وزن انتگرال یا نیمه انتگرال.

This is an advanced book on modular forms. While there are many books published about modular forms, they are written at an elementary level, and not so interesting from the viewpoint of a reader who already knows the basics. This book offers something new, which may satisfy the desire of such a reader. However, we state every definition and every essential fact concerning classical modular forms of one variable.

One of the principal new features of this book is the theory of modular forms of half-integral weight, another being the discussion of theta functions and Eisenstein series of holomorphic and nonholomorphic types. Thus the book is presented so that the reader can learn such theories systematically. Ultimately, we concentrate on the following two themes:

(I) The correspondence between the forms of half-integral weight and those of integral weight.

(II) The arithmeticity of various Dirichlet series associated with modular forms of integral or half-integral weight.