MMA320 Introduction to Algebraic Geometry

What is algebraic geometry?......Page 4
1.1. Algebraic sets......Page 8
1.2. Hilbert's Nullstellensatz......Page 10
1.3. The resultant......Page 12
1.4. Hilbert's Nullstellensatz (continued)......Page 14
1.5. Irreducible components......Page 15
1.6. Primary decomposition......Page 17
1.7. The ground field......Page 20
1.8. Polynomial maps......Page 21
1.9. Regular and rational functions......Page 22
1.10. The local ring of a point......Page 24
1.11. Rational maps......Page 26
1.12. Quasi-affine and affine varieties......Page 27
2.1. Projective space......Page 28
2.2. Algebraic subsets......Page 31
2.3. Rational maps......Page 34
2.4. Products......Page 37
2.5. Linear systems......Page 38
2.6. Blowing up a point......Page 40
3.1. Bézout's Theorem......Page 44
3.2. Inflection points......Page 49
3.3. The group law on cubic curves......Page 51
4.1. Krull dimension......Page 56
4.2. Integral ring extensions......Page 57
4.3. Noether normalisation......Page 62
4.4. Dimension of affine and projective varieties......Page 64
5.1. Embedded tangent space......Page 66
5.2. Zariski tangent space......Page 68
5.3. The dimension of the tangent space......Page 70
5.4. The main theorem of elimination theory......Page 72
6.1. A dimension count......Page 74
6.2. Grassmann variety......Page 75
6.3. Incidence correspondence......Page 76
6.4. The 27 lines on a cubic surface......Page 78
6.5. Cubic surfaces are rational......Page 82
Index......Page 84
Further reading......Page 86