Minimum Action Curves in Degenerate Finsler Metrics: Existence and Properties

این مونوگراف با ارائه مطالعه‌ای از تابع‌های کنش هندسی (یعنی توابع غیرمنفی در فضای منحنی‌های اصلاح‌شونده جهت‌یافته غیر پارامتری)، روی زیر کلاس آن دسته از تابع‌هایی تمرکز می‌کند که کنش محلی آنها یک نوع متریک فینسلر منحط است که ممکن است در آن ناپدید شود. جهات خاص، اجازه می دهد برای منحنی با طول اقلیدسی مثبت اما با عمل صفر. برای چنین عملکردهایی، معیارهایی ایجاد می شوند که بر اساس آنها یک منحنی عمل حداقل وجود دارد که از یک مجموعه داده شده به مجموعه دیگر منتهی می شود. سپس ویژگی‌های این منحنی مورد مطالعه قرار می‌گیرد و عدم وجود حداقل‌کننده‌ها در برخی تنظیمات مشخص می‌شود.

برای فرمول‌بندی مجدد هندسی شبه پتانسیل نظریه ونتزل-فریدلین (یک زیرشاخه از نظریه انحراف بزرگ) اعمال می‌شود. این نتایج می‌توانند وجود و ویژگی‌های منحنی‌های انتقال حداکثر احتمال بین دو حالت فراپایدار را در یک فرآیند تصادفی با نویز کوچک نشان دهند.

این کتاب فقط دانش استاندارد در تجزیه و تحلیل سطح فارغ‌التحصیل را فرض می‌کند. تمام مفاهیم ریاضی سطح بالاتر در طول مسیر معرفی می شوند.

Presenting a study of geometric action functionals (i.e., non-negative functionals on the space of unparameterized oriented rectifiable curves), this monograph focuses on the subclass of those functionals whose local action is a degenerate type of Finsler metric that may vanish in certain directions, allowing for curves with positive Euclidean length but with zero action. For such functionals, criteria are developed under which there exists a minimum action curve leading from one given set to another. Then the properties of this curve are studied, and the non-existence of minimizers is established in some settings.

Applied to a geometric reformulation of the quasipotential of Wentzell-Freidlin theory (a subfield of large deviation theory), these results can yield the existence and properties of maximum likelihood transition curves between two metastable states in a stochastic process with small noise.

The book assumes only standard knowledge in graduate-level analysis; all higher-level mathematical concepts are introduced along the way.