Minimax Theory of Image Reconstruction

تنوع زیادی از روش های بازسازی تصویر پیشنهاد شده توسط نویسندگان مختلف وجود دارد (به عنوان مثال به پرات (1978)، روزنفلد و کاک (1982)، مار (1982) مراجعه کنید). انتخاب روش مناسب برای یک مسئله خاص در تحلیل تصویر همواره به عنوان یک هنر مطرح بوده است. چگونه می توان روش بازسازی تصویر را که به نوعی بهینه است پیدا کرد؟ در این کتاب ما با استفاده از رویکرد کمینه مجانبی به روحیه ابراگیموف و خاسمینسکی (1980a,b, 1981, 1982)، برتاگنول و هوبر (1979)، استون (1980، 1982) به این سوال پاسخ می دهیم. فرض می‌کنیم که تصویر متعلق به یک کلاس عملکردی خاص است و تخمین‌گرهای تصویری را پیدا می‌کنیم که بهترین ترتیب دقت را برای بدترین تصاویر در کلاس به دست می‌آورند. این مفهوم از بهینه بودن نسبتاً خشن است زیرا فقط ترتیب دقت بهینه شده است. با این حال، برای مقایسه روش های مختلف بازسازی تصویر مفید است. به عنوان مثال، نشان می‌دهیم که برخی از روش‌های رایج مانند پردازش خطی ساده و تخمین خطی برای تصاویر با لبه‌های تیز بهینه نیستند. توجه داشته باشید که ناپیوستگی تصاویر یک ویژگی خاص مهم است که در بیشتر موقعیت‌های عملی ظاهر می‌شود، جایی که باید بین \"دامنه تصویر\" و \"پس‌زمینه\" تمایز قائل شد. رویکرد این کتاب مبتنی بر تعمیم رگرسیون ناپارامتریک و تکنیک های نقطه تغییر ناپارامتریک است. ما این دو مشکل اساسی را در فصل 1 مورد بحث قرار می‌دهیم. فصل 2 به حداقل حد پایین برای برآوردگرهای دلخواه در مدل‌های آماری عمومی اختصاص دارد.

There exists a large variety of image reconstruction methods proposed by different authors (see e. g. Pratt (1978), Rosenfeld and Kak (1982), Marr (1982)). Selection of an appropriate method for a specific problem in image analysis has been always considered as an art. How to find the image reconstruction method which is optimal in some sense? In this book we give an answer to this question using the asymptotic minimax approach in the spirit of Ibragimov and Khasminskii (1980a,b, 1981, 1982), Bretagnolle and Huber (1979), Stone (1980, 1982). We assume that the image belongs to a certain functional class and we find the image estimators that achieve the best order of accuracy for the worst images in the class. This concept of optimality is rather rough since only the order of accuracy is optimized. However, it is useful for comparing various image reconstruction methods. For example, we show that some popular methods such as simple linewise processing and linear estimation are not optimal for images with sharp edges. Note that discontinuity of images is an important specific feature appearing in most practical situations where one has to distinguish between the "image domain" and the "background" . The approach of this book is based on generalization of nonparametric regression and nonparametric change-point techniques. We discuss these two basic problems in Chapter 1. Chapter 2 is devoted to minimax lower bounds for arbitrary estimators in general statistical models.