Minimal Surfaces

Minimal Surfaces اولین جلد از یک رساله سه جلدی در حداقل سطوح است (Grundlehren Nr. 339-341). هر جلد را می توان مستقل از مجلدات دیگر خواند و مطالعه کرد. موضوع اصلی مشکلات ارزش مرزی برای سطوح حداقلی است. این رساله یک نسخه اساسی اصلاح شده و توسعه یافته از تک نگاری Minimal Surfaces I, II است (Grundlehren Nr. 295 & 296). جلد اول با بیان ایده‌های اساسی نظریه سطوح در فضای سه بعدی اقلیدسی آغاز می‌شود و به دنبال آن سطوح حداقلی به‌عنوان نقاط ساکن مساحت یا به‌طور معادل آن به‌عنوان سطوحی با میانگین انحنای صفر معرفی می‌شوند. تعریف نهایی یک سطح حداقل، یک نگاشت هارمونیک غیر ثابت X: \Omega\to\R^3 است که به طور منطبق بر روی \Omega\subset\R^2 پارامتر شده است و ممکن است دارای نقاط انشعاب باشد. پس از آن، نظریه کلاسیک سطوح حداقل مورد بررسی قرار می‌گیرد، که شامل مثال‌های زیادی، درمان مسئله ارزش اولیه بجورلینگ، اصول بازتاب، فرمول دومین تغییر مساحت، قضایای برنشتاین، هاینز، اوسرمن و فوجیموتو است. بخش دوم این جلد با بررسی مشکل فلات و برخی از اصلاحات آن آغاز می شود. یکی از ویژگی‌های اصلی، اثبات جدید و کاملاً ابتدایی بر این واقعیت است که ناحیه A و انتگرال دیریکله D در کلاس C(G) سطوح قابل قبولی دارند که یک کانتور تجویز شده G را در بر می‌گیرند. این منجر به یک راه‌حل جدید و ساده‌شده می‌شود. از مسئله هم‌زمان کمینه‌سازی A و D در C(G)، و همچنین اثبات‌های جدید قضایای نگاشت ریمان و کورن-لیختنشتاین، و حل جدیدی از مسئله داگلاس همزمان برای A و D که در آن G شامل چندین جزء بسته سپس حقایق اساسی از سطوح حداقل پایدار مشتق شده است. این در زمینه سطوح H پایدار (یعنی سطوح پایدار با میانگین انحنای H) انجام می شود، به ویژه سطوح cmc (H = const)، و منجر به تخمین انحنا برای سطوح cmc پایدار، غوطه ور و به Nitsche می شود. قضیه یکتایی و نتیجه تناهی تومی. علاوه بر این، یک نظریه از راه حل های ناپایدار مسائل فلات توسعه یافته است که بر اساس لم گذر کوه کورانت است. علاوه بر این، مشکل دیریکله برای سطوح H ناپارامتریک با استفاده از حل مسئله Plateau برای سطوح H و برآوردهای مربوطه حل شده است.

Minimal Surfaces is the first volume of a three volume treatise on minimal surfaces (Grundlehren Nr. 339-341). Each volume can be read and studied independently of the others. The central theme is boundary value problems for minimal surfaces. The treatise is a substantially revised and extended version of the monograph Minimal Surfaces I, II (Grundlehren Nr. 295 & 296). The first volume begins with an exposition of basic ideas of the theory of surfaces in three-dimensional Euclidean space, followed by an introduction of minimal surfaces as stationary points of area, or equivalently, as surfaces of zero mean curvature. The final definition of a minimal surface is that of a nonconstant harmonic mapping X: \Omega\to\R^3 which is conformally parametrized on \Omega\subset\R^2 and may have branch points. Thereafter the classical theory of minimal surfaces is surveyed, comprising many examples, a treatment of Björling´s initial value problem, reflection principles, a formula of the second variation of area, the theorems of Bernstein, Heinz, Osserman, and Fujimoto. The second part of this volume begins with a survey of Plateau´s problem and of some of its modifications. One of the main features is a new, completely elementary proof of the fact that area A and Dirichlet integral D have the same infimum in the class C(G) of admissible surfaces spanning a prescribed contour G. This leads to a new, simplified solution of the simultaneous problem of minimizing A and D in C(G), as well as to new proofs of the mapping theorems of Riemann and Korn-Lichtenstein, and to a new solution of the simultaneous Douglas problem for A and D where G consists of several closed components. Then basic facts of stable minimal surfaces are derived; this is done in the context of stable H-surfaces (i.e. of stable surfaces of prescribed mean curvature H), especially of cmc-surfaces (H = const), and leads to curvature estimates for stable, immersed cmc-surfaces and to Nitsche´s uniqueness theorem and Tomi´s finiteness result. In addition, a theory of unstable solutions of Plateau´s problems is developed which is based on Courant´s mountain pass lemma. Furthermore, Dirichlet´s problem for nonparametric H-surfaces is solved, using the solution of Plateau´s problem for H-surfaces and the pertinent estimates.