Metrical Theory of Continued Fractions

این تک نگاری در نظر گرفته شده است که یک بررسی کامل از نظریه بسط کسری ادامه دار (منظم) و نمایش های مربوط به اعداد واقعی باشد. ما سعی کرده‌ایم بهترین نتایج ممکن را که تاکنون شناخته شده‌ایم، با اثبات‌هایی که ساده‌ترین و مستقیم‌ترین هستند، ارائه دهیم. این کتاب دارای دوران بارداری طولانی بوده است، زیرا ما برای اولین بار تصمیم گرفتیم آن را در مارس 1994 بنویسیم. این امکان را به ما داد که اساساً نسخه های اولیه بسیاری از قسمت های آن را بهبود بخشیم. حتی اگر این دو نویسنده در سبک و رویکرد متفاوت باشند، تمام تلاش برای پنهان کردن تفاوت ها انجام شده است. اجازه دهید 0 مجموعه ای از غیر منطقی ها را در I = [0,1] نشان دهد. تبدیل کسر ادامه دار (منظم) T را با T (w) = قسمت کسری از n 1/w، w E O تعریف کنید. n 1 با TO = نقشه هویت. اعداد صحیح مثبت an(w) = al(T - (W))، n E N+ = {1,2··· }، که در آن al(w) = قسمت صحیح 1/w، w E 0، نامیده می شوند. (کسری ادامه دار منظم) ارقام w. نوشتن . برای نامعین های دلخواه Xi, 1 :::; من :::؛ n، w = lim [al(w),···، an(w)]، w E 0، n--->oo داریم بنابراین نام T را توضیح می دهیم. معادله فوق به صورت w = نیز نوشته می شود. lim [al(w)، a2(w)،···]، w E O.

This monograph is intended to be a complete treatment of the metrical the­ ory of the (regular) continued fraction expansion and related representations of real numbers. We have attempted to give the best possible results known so far, with proofs which are the simplest and most direct. The book has had a long gestation period because we first decided to write it in March 1994. This gave us the possibility of essentially improving the initial versions of many parts of it. Even if the two authors are different in style and approach, every effort has been made to hide the differences. Let 0 denote the set of irrationals in I = [0,1]. Define the (reg­ ular) continued fraction transformation T by T (w) = fractional part of n 1/w, w E O. Write T for the nth iterate of T, n E N = {O, 1, ... }, n 1 with TO = identity map. The positive integers an(w) = al(T - (W)), n E N+ = {1,2··· }, where al(w) = integer part of 1/w, w E 0, are called the (regular continued fraction) digits of w. Writing . for arbitrary indeterminates Xi, 1 :::; i :::; n, we have w = lim [al(w),··· , an(w)], w E 0, n--->oo thus explaining the name of T. The above equation will be also written as w = lim [al(w), a2(w),···], w E O.