Metric Methods for Analyzing Partially Ranked Data

رتبه‌بندی کامل از n مورد صرفاً ترتیبی از همه این موارد است، به شکل: انتخاب اول، انتخاب دوم، •. . ، انتخاب n. اگر دو قاضی هر کدام n مورد یکسان را رتبه بندی کنند، آماردانان از معیارهای مختلفی برای اندازه گیری نزدیکی دو رتبه استفاده کرده اند، از جمله تاو کن دال، رو اسپیرمن، پای فرمان اسپیرمن، متریک اولام، فاصله هال111 و فاصله کیلی. این معیارها در بسیاری از زمینه ها، در بسیاری از مسائل آماری و علمی کاربردی به کار گرفته شده اند. این مونوگراف روش های نسل 1 را برای بسط این معیارها به داده های رتبه بندی شده ارائه می دهد. در اینجا \"داده های رتبه بندی شده جزئی\" به عنوان مثال به وضعیتی اشاره دارد که در آن n مورد مجزا وجود دارد، اما هر داور فقط انتخاب های اول تا k-ام خود را مشخص می کند، جایی که k < n. انواع پیچیده‌تر از داده‌های رتبه‌بندی جزئی نیز بررسی می‌شوند. نظریه گروه ابزار مهمی برای گسترش معیارها است. رتبه‌بندی‌های کامل با عناصر گروه جایگشت شناسایی می‌شوند، در حالی که رتبه‌بندی‌های جزئی با امتیازهایی در فضای مجموعه‌ای از گروه جایگشت مشخص می‌شوند. بنابراین مشکل به یکی از معیارهای گرایش قبلی در گروه جایگشت به متریک های فضای همبسته از گروه جایگشت تبدیل می شود. برای اجرای یون های بسط، دو روش جدید - به اصطلاح روش های هاسدورف و بردار ثابت - معرفی و پیاده سازی شده اند که از این ساختار گروهی-نظری بهره برداری می کنند. در ادبیات آماری ارائه شده است.

A full ranking of n items is simply an ordering of all these items, of the form: first choice, second choice, •. . , n-th choice. If two judges each rank the same n items, statisticians have used various metrics to measure the closeness of the two rankings, including Ken­ dall's tau, Spearman's rho, Spearman's footrule, Ulam's metric, Hal1l11ing distance, and Cayley distance. These metrics have been em­ ployed in many contexts, in many applied statistical and scientific problems. Thi s monograph presents genera 1 methods for extendi ng these metri cs to partially ranked data. Here "partially ranked data" refers, for instance, to the situation in which there are n distinct items, but each judge specifies only his first through k-th choices, where k < n. More complex types of partially ranked data are also investigated. Group theory is an important tool for extending the metrics. Full rankings are identified with elements of the permutation group, whereas partial rankings are identified with points in a coset space of the permutation group. The problem thus becomes one of ex­ tending metrics on the permutation group to metrics on a coset space of the permutation group. To carry out the extens"ions, two novel methods -- the so-called Hausdorff and fixed vector methods -- are introduced and implemented, which exploit this group-theoretic structure. Various data-analytic applications of metrics on fully ranked data have been presented in the statistical literature.