Metric Foliations and Curvature

در سه یا چهار دهه گذشته، درک فزاینده ای وجود داشته است که شاخ و برگ های متریک نقش کلیدی در درک ساختار منیفولدهای ریمانی ایفا می کنند، به ویژه آنهایی که دارای انحنای مقطعی مثبت یا غیرمنفی هستند. در واقع، همه چنین فضاهای شناخته شده تنها از تعداد انگشت شماری نماینده با استفاده از فیبراسیون های متریک یا تغییر شکل آنها ساخته شده اند.

این متن تلاشی است برای مستندسازی برخی از این ساختارها، که بسیاری از آنها فقط در مجله ظاهر شده اند. فرم. در اینجا تأکید کمتری بر خود فیبراسیون است و بیشتر بر نحوه استفاده از آن برای ساختن یا درک متریک با انحنای علامت ثابت در یک فضای معین است.

In the past three or four decades, there has been increasing realization that metric foliations play a key role in understanding the structure of Riemannian manifolds, particularly those with positive or nonnegative sectional curvature. In fact, all known such spaces are constructed from only a representative handful by means of metric fibrations or deformations thereof.

This text is an attempt to document some of these constructions, many of which have only appeared in journal form. The emphasis here is less on the fibration itself and more on how to use it to either construct or understand a metric with curvature of fixed sign on a given space.