Methods of Small Parameter in Mathematical Biology

این تک نگاری ابزارهای جدیدی را برای مدل سازی فرآیندهای بیولوژیکی چند مقیاسی ارائه می دهد. فرآیندهای طبیعی معمولاً توسط مکانیسم هایی هدایت می شوند که به طور گسترده ای با یکدیگر در مقیاس زمانی یا مکانی که در آن عمل می کنند متفاوت هستند و بنابراین باید با مدل های چند مقیاسی مناسب توصیف شوند. با این حال، مشاهده همزمان همه این مقیاس‌ها اغلب غیرممکن، پرهزینه است و اطلاعاتی را ارائه می‌دهد که برای یک کاربرد خاص اضافی است. از این رو، علاقه فزاینده‌ای به ارائه توصیفی متمرکزتر از فرآیندهای چند مقیاسی با تجمیع متغیرها به گونه‌ای وجود دارد که با هدف مورد نظر مرتبط باشد و ویژگی‌های برجسته پویایی را حفظ کند. روش‌های موردی زیادی ابداع شده‌اند، و هدف این کتاب ارائه روشی نظام‌مند برای استخراج معادلات حدی برای چنین متغیرهای انباشته‌ای و حصول اطمینان از اینکه ضرایب این معادلات اطلاعات مربوطه را از سطوح توصیف دور ریخته شده در بر می‌گیرد، ارائه می‌کند. . از آنجایی که هر تقریبی تنها در صورتی معتبر است که تخمینی از خطای رخ داده در دسترس باشد، ابزارهایی که نویسندگان توصیف می‌کنند اجازه می‌دهند ثابت کنند که راه‌حل‌های خانواده چند مقیاسی اولیه معادلات در صورتی که پارامتر مربوطه به بحرانی آن همگرا شود، به حل معادله حدی همگرا می‌شوند. ارزش. فصل‌ها بر اساس پیچیدگی ریاضی تجزیه و تحلیل، از سیستم‌های معادلات دیفرانسیل خطی معمولی، از طریق معادلات دیفرانسیل معمولی غیرخطی، تا معادلات دیفرانسیل جزئی خطی و غیرخطی مرتب شده‌اند. بسیاری از فصل ها با بررسی تکنیک های ریاضی مورد نیاز برای تجزیه و تحلیل شروع می شوند. تمام مسائلی که در این کتاب مورد بحث قرار می‌گیرند، متعلق به کلاس مسائل منفرد هستند. یعنی مسائلی که در آنها ساختار معادله حدی با ساختار مدل چند مقیاسی متفاوت است. چنین مشکلاتی در همه حوزه های علمی ظاهر می شود و با استفاده از تکنیک های زیادی می توان به آنها حمله کرد. روش‌های پارامتر کوچک در زیست‌شناسی ریاضی برای دانشجویان ارشد و کارشناسی ارشد در رشته‌های کاربردی و بیوماتیک و همچنین محققان متخصص در معادلات دیفرانسیل و تحلیل مجانبی جذاب خواهد بود.

This monograph presents new tools for modeling multiscale biological processes. Natural processes are usually driven by mechanisms widely differing from each other in the time or space scale at which they operate and thus should be described by appropriate multiscale models. However, looking at all such scales simultaneously is often infeasible, costly, and provides information that is redundant for a particular application. Hence, there has been a growing interest in providing a more focused description of multiscale processes by aggregating variables in a way that is relevant to the purpose at hand and preserves the salient features of the dynamics. Many ad hoc methods have been devised, and the aim of this book is to present a systematic way of deriving the so-called limit equations for such aggregated variables and ensuring that the coefficients of these equations encapsulate the relevant information from the discarded levels of description. Since any approximation is only valid if an estimate of the incurred error is available, the tools the authors describe allow for proving that the solutions to the original multiscale family of equations converge to the solution of the limit equation if the relevant parameter converges to its critical value. The chapters are arranged according to the mathematical complexity of the analysis, from systems of ordinary linear differential equations, through nonlinear ordinary differential equations, to linear and nonlinear partial differential equations. Many chapters begin with a survey of mathematical techniques needed for the analysis. All problems discussed in this book belong to the class of singularly perturbed problems; that is, problems in which the structure of the limit equation is significantly different from that of the multiscale model. Such problems appear in all areas of science and can be attacked using many techniques. Methods of Small Parameter in Mathematical Biology will appeal to senior undergraduate and graduate students in applied and biomathematics, as well as researchers specializing in differential equations and asymptotic analysis.