Methods of Bifurcation Theory

یک عنوان جایگزین برای این کتاب شاید تحلیل غیرخطی، نظریه انشعاب و معادلات دیفرانسیل باشد. هدف اصلی ما بحث در مورد جنبه هایی از نظریه انشعاب است که به ویژه برای معادلات دیفرانسیل معنادار هستند. برای دستیابی به این هدف و در دسترس قرار دادن کتاب برای بیشتر مخاطبان، مطالبی از تحلیل تابعی غیرخطی و تئوری کیفی معادلات دیفرانسیل را به تفصیل ارائه کرده‌ایم. از آنجایی که هیچ مرجع خوبی برای مقداری از ریال وجود ندارد، درج آن ضروری به نظر می رسید. دو جنبه متمایز از نظریه انشعاب مورد بحث قرار گرفته است - ایستا و پویا. تئوری انشعاب استاتیک به تغییراتی مربوط می شود که در ساختار مجموعه صفرهای یک تابع به دلیل متغیر بودن پارامترها در تابع رخ می دهد. اگر تابع یک گرادیان باشد، تکنیک‌های متغیر نقش مهمی ایفا می‌کنند و می‌توانند به طور موثر حتی برای مشکلات جهانی به کار گرفته شوند. اگر تابع یک گرادیان نباشد یا اطلاعات دقیق تری مورد نظر باشد، نظریه عمومی معمولاً محلی است. در عین حال، این نظریه زمانی سازنده و معتبر است که چندین پارامتر مستقل در تابع ظاهر شوند. در معادلات دیفرانسیل، راه حل های تعادلی، صفرهای میدان برداری هستند. بنابراین، روش‌ها در تئوری انشعاب استاتیک به طور مستقیم قابل اجرا هستند.

An alternative title for this book would perhaps be Nonlinear Analysis, Bifurcation Theory and Differential Equations. Our primary objective is to discuss those aspects of bifurcation theory which are particularly meaningful to differential equations. To accomplish this objective and to make the book accessible to a wider we have presented in detail much of the relevant background audience, material from nonlinear functional analysis and the qualitative theory of differential equations. Since there is no good reference for some of the mate­ rial, its inclusion seemed necessary. Two distinct aspects of bifurcation theory are discussed-static and dynamic. Static bifurcation theory is concerned with the changes that occur in the structure of the set of zeros of a function as parameters in the function are varied. If the function is a gradient, then variational techniques play an important role and can be employed effectively even for global problems. If the function is not a gradient or if more detailed information is desired, the general theory is usually local. At the same time, the theory is constructive and valid when several independent parameters appear in the function. In differential equations, the equilibrium solutions are the zeros of the vector field. Therefore, methods in static bifurcation theory are directly applicable.