Methods for Solving Incorrectly Posed Problems

برخی از مسائل فیزیک ریاضی و تجزیه و تحلیل را می توان به عنوان مسئله حل معادله f € F، (1) Au = f، که در آن A: DA C U + F یک عملگر با دامنه غیر خالی از تعریف D است فرموله کرد. ، در یک فضای متریک U، با محدوده در یک فضای متریک F. متریک های A در U و F به ترتیب با P و P نشان داده می شوند. نسبت u F به فضاهای دوقلو U و F، J. Hadamard P-06] تعریف زیر را از صحت ارائه داد: اگر شرایط زیر برآورده شود، گفته می شود که مشکل (1) به خوبی مطرح شده است (درست، به درستی مطرح شده است). : (1) محدوده مقدار Q عملگر A با A F منطبق است (شرط \"sol vabi li ty\"). (2) برابری AU = AU برای هر u ,u € DA دلالت بر برابری I 2 l 2 u = u (شرط \"یکتا بودن\") دارد. l 2 (3) عملگر معکوس A-I در F پیوسته است (شرط \"پایداری\"). هر فرمول ریاضی منطقی یک مسئله فیزیکی مستلزم این است که شرایط (1)-(3) برآورده شود. به همین دلیل است که هادامارد فرض می‌کند که هر مشکل «بی‌طرفانه» (به‌طور نادرست مطرح شده)، یعنی مشکلی که شرایط (1)- (3) را برآورده نمی‌کند، غیر فیزیکی است. هادامارد همچنین مثال کلاسیکی را از یک مسئله بد ارائه کرد، یعنی مسئله کوشی برای معادله لاپلاس.

Some problems of mathematical physics and analysis can be formulated as the problem of solving the equation f € F, (1) Au = f, where A: DA C U + F is an operator with a non-empty domain of definition D , in a metric space U, with range in a metric space F. The metrics A on U and F will be denoted by P and P ' respectively. Relative u F to the twin spaces U and F, J. Hadamard P-06] gave the following defini­ tion of correctness: the problem (1) is said to be well-posed (correct, properly posed) if the following conditions are satisfied: (1) The range of the value Q of the operator A coincides with A F ("sol vabi li ty" condition); (2) The equality AU = AU for any u ,u € DA implies the I 2 l 2 equality u = u ("uniqueness" condition); l 2 (3) The inverse operator A-I is continuous on F ("stability" condition). Any reasonable mathematical formulation of a physical problem requires that conditions (1)-(3) be satisfied. That is why Hadamard postulated that any "ill-posed" (improperly posed) problem, that is to say, one which does not satisfy conditions (1)-(3), is non-physical. Hadamard also gave the now classical example of an ill-posed problem, namely, the Cauchy problem for the Laplace equation.