Mechanika Kwantowa. Skrypt dla studentów III–ego roku fizyki

I CZĘŚĆ GŁÓWNA WYKŁADU 1

1 Cząstki i fale 1
 1.1 Fale elektromagnetyczne i fotony - 1
 1.2 Analiza doświadczenia interferencyjnego Young’a - 2
 1.2.1 Eksperyment pierwszy – jedna szczelina otwarta - 2
 1.2.2 Eksperyment drugi – obie szczeliny otwarte - 3
 1.2.3 Dyskusja opisu korpuskularnego - 4
 1.3 Dualizm korpuskularno–falowy - 6
 1.3.1 Podsumowanie omawianych doświadczeń - 6
 1.3.2 Kwantowa uni?kacja obu aspektów - 6
 1.3.3 Dualizm korpuskularno–falowy - 7
 1.4 Idea rozkładu spektralnego - 8
 1.4.1 Dyskusja eksperymentu polaryzacyjnego - 8
 1.4.2 Wnioski kwantowo-mechaniczne - 9
2 Funkcje falowe i równanie Schrödingera 12
 2.1 Funkcja falowa - 12
 2.2 Równanie Schrödingera - 13
 2.2.1 Uwagi i komentarze - 14
 2.2.2 Uzasadnienie równania Schrödingera - 15
 2.2.3 Dalsze uwagi i komentarze - 17
 2.2.4 Uogólnienie - 18
 2.3 Własności funkcji falowych - 18
 2.3.1 Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej - 18
 2.3.2 Gęstość i prąd prawdopodobieństwa - 20
 2.4 Stacjonarne równanie Schrödingera - 22
 2.4.1 Wprowadzenie - 22
 2.4.2 Cząstka swobodna - 24
 2.4.3 Stany związane i rozproszeniowe - 27
 2.4.4 Warunki ciągłości dla funkcji falowych - 29
3 Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 30
 3.1 Przestrzeń funkcji falowych i operatory - 30
 3.1.1 Przestrzeń funkcji falowych – przestrzeń Hilberta - 30
 3.1.2 Operatory na przestrzeni funkcji falowych - 32
 3.1.3 Operatory hermitowskie - 36
 3.2 Obserwable i pomiary - 38
 3.2.1 Obserwable - 38
 3.2.2 Wyniki pomiarów i ich prawdopodobieństwa - 38
 3.3 Wartości oczekiwane - 44
 3.3.1 Dyskusja dodatkowa- Dyspersje - 46
 3.4 Konstrukcja operatorów – obserwabli - 48
 3.4.1 Operatory położenia i pędu - 48
 3.4.2 Zasada odpowiedniości - 49
 3.4.3 Hamiltonian cząstki - 50
 3.5 Nawiasy Poissona i relacje komutacyjne- Metoda kwantowania - 51
4 Równanie Schrödingera 53
 4.1 Zachowanie normy wektora stanu – funkcji falowej - 53
 4.2 Równanie Schrödingera dla układu konserwatywnego - 54
 4.2.1 Ewolucja w czasie dla stanu stacjonarnego - 55
 4.2.2 Normowanie stacjonarnej funkcji falowej (4.25) - 57
 4.2.3 Stan początkowy – stan własny hamiltonianu - 58
 4.2.4 Uwagi o zachowaniu energii - 59
 4.3 Ewolucja wartości oczekiwanej obserwabli - 59
 i6.03.2010 MECHANIKA KWANTOWA – Spis treści ii
 4.3.1 hAi t – liczbowa funkcja czasu - 59
 4.3.2 Równanie ruchu dla hAi t - 60
 4.4 Twierdzenie Ehrenfesta - 61
 4.4.1 Wyprowadzenie równań Ehrenfesta - 61
 4.4.2 Dyskusja- Granica klasyczna - 63
5 Zasada nieoznaczoności 65
 5.1 Formalna zasada nieoznaczoności - 65
 5.1.1 Średnie i dyspersje- Pojęcia wstępne - 65
 5.1.2 Zasada nieoznaczoności - 67
 5.1.3 Warunki minimalizacji zasady nieoznaczoności - 67
 5.2 Dyskusja i pewne zastosowania - 68
 5.2.1 Ogólne sformułowanie - 68
 5.2.2 Relacja nieoznaczoności położenie–pęd - 69
 5.2.3 Zastosowanie do atomu w modelu Bohra - 70
 5.3 Zasada nieoznaczoności energia – czas - 71
6 Ważny przykład – oscylator harmoniczny 73
 6.1 Wprowadzenie - 73
 6.2 Stacjonarne równanie Schrödingera dla oscylatora - 74
 6.2.1 Zamiana zmiennych - 74
 6.2.2 Zachowanie asymptotyczne - 76
 6.2.3 Równanie dla funkcji f(?) - 77
 6.3 Rozwiązanie via kon?uentna funkcja hipergeometryczna - 77
 6.3.1 Kon?uentne równanie hipergeometryczne- Rozwiązanie - 77
 6.3.2 Dyskusja rozwiązań - 78
 6.3.3 Wielomiany Hermite’a- Funkcje własne - 80
 6.3.4 Podsumowanie: funkcje i energie własne oscylatora - 81
 6.4 Pewne zastosowania - 82
 6.4.1 Element macierzowy operatora położenia - 82
 6.4.2 Element macierzowy operatora pędu - 83
 6.4.3 Elementy macierzowe h k | ^x 2 | n i oraz h k | ^p 2 | n i - 85
 6.4.4 Zasada nieoznaczoności i energia stanu podstawowego - 85
7 Notacja Diraca 87
 7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu - 87
 7.2 Kety i bra- Notacja Diraca - 88
 7.3 Operatory liniowe - 89
 7.3.1 Operatory, kety i bra - 89
 7.3.2 Operator rzutowy - 90
 7.4 Sprzężenia hermitowskie w notacji Diraca - 91
 7.4.1 De?nicja operatora sprzężonego - 91
 7.4.2 Własności sprzężenia hermitowskiego - 91
 7.4.3 Uwagi dodatkowe i przykłady - 92
 7.4.4 Notacja Diraca – reguły mnemotechniczne - 92
 7.5 Operatory hermitowskie – obserwable - 93
 8 Reprezentacje w przestrzeni stanów 94
 8.1 De?nicja reprezentacji - 94
 8.1.1 Intuicyjne wprowadzenie - 94
 8.1.2 Relacje ortonormalności i zupełności - 95
 8.2 Reprezentacje ketów, bra oraz operatorów - 96
 8.2.1 Reprezentacje ketów i bra - 96
 8.2.2 Reprezentacja iloczynu skalarnego - 97
 8.2.3 Uwagi o normowaniu - 97
 8.2.4 Reprezentacja | ? 0 i = ^A| ? i - 97
 8.2.5 Reprezentacja iloczynu operatorów - 99
 8.2.6 Elementy macierzowe operatora sprzężonego - 99
 8.2.7 Wyrażenie dla h ? | ^A | ? i - 100
 8.3 Operatory rzutowe i rozkład spektralny obserwabli - 100
 8.3.1 Projektory jednowymiarowe - 101
 8.3.2 Projektory wielowymiarowe - 101
 8.3.3 Rozkład spektralny obserwabli - 102
 8.4 Nowa terminologia - 103
 8.4.1 Funkcje falowe w reprezentacji U - 103
 8.4.2 Operatory w reprezentacji U - 104
 8.4.3 Uwagi dodatkowe - 105
9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 107
 9.1 Reprezentacja położeniowa - 107
 9.1.1 De?nicja reprezentacji położeniowej - 107
 9.1.2 Funkcje falowe w reprezentacji położeniowej - 108
 9.1.3 Operatory w reprezentacji położeniowej - 109
 9.1.4 Operator pędu w reprezentacji położeniowej - 109
 9.1.5 Zasada odpowiedniości w reprezentacji położeniowej - 111
 9.2 Reprezentacja pędowa - 112
 9.3 Związek między reprezentacjami |~r i i | ~p i - 113
 9.3.1 Wprowadzenie - 113
 9.3.2 Funkcje własne pędu w reprezentacji położeniowej - 114
 9.3.3 Zmiana reprezentacji – pary fourierowskie - 116
 9.3.4 Cząstka swobodna - 116
 9.3.5 Kłopoty interpretacyjne - 117
10. Zupełny zbiór obserwabli komutujących 119
 10.1 Twierdzenia matematyczne - 119
 10.2 Zupełny zbiór obserwabli komutujących (ZZOK) - 122
 10.3 Uwagi praktyczne - 123
 11 Postulaty mechaniki kwantowej 125
 11.1 Postulat 1: wektor stanu - 125
 11.2 Postulat 2: obserwable - 126
 11.3 Postulat 3: wyniki pomiarów – wartości własne obserwabli - 126
 11.4 Postulat 4: prawdopodobieństwo wyników pomiarowych - 126
 11.4.1 Przypadek widma dyskretnego bez degeneracji - 127
 11.4.2 Przypadek widma dyskretnego z degeneracją - 127
 11.4.3 Przypadek widma ciągłego - 128
 11.5 Postulat 5: pomiar – redukcja wektora stanu - 129
 11.6 Postulat 6: ewolucja w czasie – równanie Schrödingera - 130
 12 Kwantowa teoria momentu pędu 131
 12.1 Orbitalny moment pędu – wstęp - 131
 12.1.1 Podstawowe de?nicje - 131
 12.1.2 Relacje komutacyjne - 132
 12.2 Ogólny operator moment pędu - 133
 12.2.1 De?nicje i uwagi wstępne - 133
 12.2.2 Relacje komutacyjne - 134
 12.3 Wartości własne operatorów ~J 2 oraz J 3 = J z - 135
 12.3.1 Wprowadzenie - 135
 12.3.2 Wartość własna m jest ograniczona - 136
 12.3.3 Własności J ± | j m i - 137
 12.3.4 Wartości własne ~J 2 oraz J 3 = J z - 137
 12.3.5 Podsumowanie - 139
 12.4 Wektory własne operatorów ~J 2 oraz J 3 = J z - 139
 12.4.1 Konstrukcja stanów | j m i - 139
 12.4.2 Reprezentacja standardowa - 140
 13 Orbitalny momentu pędu 142
 13.1 Ogólne własności orbitalnego momentu pędu - 142
 13.1.1 Przypomnienie wyników - 142
 13.2 Wartości własne i wektory własne - 143
 13.2.1 Elementy macierzowe - 143
 13.3 Orbitalny moment pędu w reprezentacji położeniowej - 144
 13.3.1 Współrzędne kartezjańskie i sferyczne - 144
 13.3.2 Operatory L k we współrzędnych sferycznych - 145
 13.3.3 Operator ~L 2 we współrzędnych sferycznych - 146
 13.3.4 Wartości własne i funkcje własne ~L 2 i L 3 - 148
 13.4 Harmoniki sferyczne - 150
 13.4.1 Wprowadzenie - 150
 13.4.2 Konstrukcja harmonik sferycznych - 150
 13.4.3 Harmoniki sferyczne – zebranie informacji - 152
14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 155
 14.1 Postawienie problemu - 155
 14.1.1 Przypomnienie klasycznego problemu Keplera - 155
 14.1.2 Hamiltonian kwantowo-mechaniczny - 157
 14.2 Separacja zmiennych - 158
 14.2.1 Zupełny zbiór obserwabli komutujących - 158
 14.2.2 Radialne równanie Schrödingera - 159
 14.2.3 Zachowanie się funkcji radialnych w r = 0 - 160
 14.3 Podsumowanie - 161
 14.3.1 Równanie radialne - 161
 14.3.2 Liczby kwantowe - 162
 14.3.3 Degeneracja zasadnicza i przypadkowa - 163
 14.4 Zagadnienie dwóch ciał - 163
 14.4.1 Separacja zmiennych w mechanice kwantowej - 163
 14.4.2 Wartości i funkcje własne Hamiltonianu - 165
15. Atom wodoropodobny 168
 15.1 Wprowadzenie - 168
 15.2 Stabilność atomu - 169
 15.2.1 Dyskusja klasyczna - 169
 15.2.2 Dyskusja kwantowo-mechaniczna - 169
 15.3 Kwantowo-mechaniczna teoria atomu wodoropodobnego - 170
 15.3.1 Równanie radialne – dyskusja własności - 170
 15.3.2 Rozwiązanie równania radialnego - 171
 15.3.3 Dyskusja rekurencji i kwantowanie energii - 176
 15.3.4 Funkcje radialne – ogólne sformułowanie - 177
 15.4 Dyskusja uzyskanych rezultatów - 179
 15.4.1 Rzędy wielkości parametrów atomowych - 179
 15.4.2 Poziomy energetyczne- Główna liczba kwantowa - 179
 15.4.3 Radialne funkcje falowe - 181
 15.4.4 Jawne wyrażenia dla kilku pierwszych funkcji radialnych - 183
 15.4.5 Podsumowanie - 184
 15.5 Obliczanie średnich h r s i nl - 185
 15.5.1 Wprowadzenie - 185
 15.5.2 Kilka przypadków szczególnych - 186
 15.5.3 Wzór rekurencyjny Kramersa dla średnich h r s i nl - 187
16 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 189
 16.1 Przybliżenie półklasyczne w mechanice kwantowej - 189
 16.1.1 Hamiltonian - 189
 16.1.2 Niezmienniczość ze względu na cechowanie - 191
 16.1.3 Ciągłość prądu prawdopodobieństwa - 191
 16.2 Cząstka bezspinowa w jednorodnym polu magnetycznym - 194
 16.2.1 Wybór potencjału wektorowego - 194
 16.2.2 Hamiltonian - 194
 16.2.3 Dyskusja rzędów wielkości - 195
 16.2.4 Interpretacja członu paramagnetycznego - 196
 16.2.5 Interpretacja członu diamagnetycznego - 198
 16.3 Normalny efekt Zeemana dla atomu wodoropodobnego - 198
 16.3.1 Poziomy energetyczne - 198
17 Teoria spinu 1/2 201
 17.1 Wprowadzenie – braki dotychczasowej teorii - 201
 17.2 Postulaty teorii Pauliego - 202
 17.3 Macierze Pauliego i operatory spinu 1/2 - 204
 17.4 Nierelatywistyczny opis cząstki o spinie 1/2 - 207
 17.4.1 Wektory stanu – spinory - 207
 17.4.2 Operatory i ich działanie na spinory - 208
 17.4.3 Obliczanie prawdopodobieństw i wartości oczekiwanych - 209
18 Dodawanie momentów pędu 211
 18.1 Całkowity moment pędu - 211
 18.1.1 Przypomnienie z mechaniki klasycznej - 211
 18.1.2 Przykład kwantowo-mechaniczny - 211
 18.1.3 Oddziaływanie spin-orbita – dyskusja wstępna - 213
 18.2 Dodawanie dwóch momentów pędu - 214
 18.2.1 Dyskusja i wprowadzenie - 214
 18.2.2 Podstawowe własności operatora ~J = ~ j 1 + ~ j 2 - 216
 18.2.3 Wartości własne (liczby kwantowe) J oraz M - 217
 18.2.4 Wektory własne operatorów ~J 2 i J 3 - 219
 18.3 Współczynniki Clebscha-Gordana (CG) - 224
 18.3.1 Wprowadzenie - 224
 18.3.2 Własności współczynników CG - 225
19 Stacjonarny rachunek zaburzeń 231
 19.1 Istota problemu - 231
 19.2 Rachunek zaburzeń dla stanu niezdegenerowanego - 233
 19.2.1 Wprowadzenie - 233
 19.2.2 Formalizm matematyczny - 234
 19.2.3 Poprawki pierwszego rzędu - 235
 19.2.4 Poprawki drugiego rzędu do energii - 237
 19.2.5 Dyskusja uzyskanych rezultatów - 238
 19.3 Rachunek zaburzeń dla stanu zdegenerowanego - 239
 19.3.1 Wprowadzenie - 239
 19.3.2 Formalizm rachunku zaburzeń z degeneracją - 240
 19.3.3 Dyskusja macierzy zaburzenia - 242
 19.3.4 Rachunek zaburzeń z degeneracją – podsumowanie - 244
20 Rachunek zaburzeń z czasem 245
 20.1 Przybliżone rozwiązanie równania Schrödingera - 245
 20.1.1 Zagadnienie stacjonarne – przypomnienie - 245
 20.1.2 Wpływ zewnętrznego zaburzenia- Prawdopodobieństwo przejścia - 246
 20.1.3 Prawdopodobieństwo przejścia w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń - 248
 20.2 Zaburzenie harmoniczne - 250
 20.2.1 Prawdopodobieństwo przejścia - 250
 20.2.2 Własności funkcji pomocniczych - 252
 20.2.3 Prawdopodobieństwo przejścia- Przybliżenie rezonansowe - 255
 20.2.4 Zaburzenie stałe w czasie - 257
 20.2.5 Szerokość rezonansu i zasada nieoznaczoności - 258
 20.2.6 Warunki stosowalności - 258
 20.2.7 Podsumowanie - 260
 20.3 Sprzężenie ze stanami z continuum - 260
 20.3.1 Dyskusja problemu - 260
 20.3.2 Złota reguła Fermiego - 262
21 Oddziaływanie atomów z falą elektromagnetyczną 263
 21.1 Prosta dyskusja zjawisk optycznych - 263
 21.1.1 Gęstość modów we wnęce - 263
 21.1.2 Rozkład Plancka - 264
 21.1.3 Współczynniki A i B Einsteina - 266
 21.2 Oddziaływanie atomu z falą elektromagnetyczną - 269
 21.2.1 Hamiltonian oddziaływania - 269
 21.2.2 Prawdopodobieństwo przejścia, cz- I - 272
 21.2.3 Prawdopodobieństwo przejścia, cz- II - 274
 21.2.4 Reguły wyboru - 276
 21.2.5 Współczynniki A i B Einsteina - 279
 21.2.6 Stosowalność rachunku zaburzeń - 280

 II ROZDZIAŁY UZUPEŁNIAJĄCE I ĆWICZENIOWE 282

22 (U.1) Cząstki i fale 283
 22.1 Doświadczenia z polaryzacją fotonu - 283
 22.1.1 Przypomnienie - 283
 22.1.2 Trzy polaryzatory - 284
23 (U.2) Funkcje falowe i równanie Schrödingera 286
 23.1 Równanie Kleina–Gordona - 286
 23.2 Jednowymiarowe równanie Schrödingera - 286
 23.2.1 Ogólne omówienie - 286
 23.2.2 U(x) – funkcja parzysta - 288
 23.3 Jednowymiarowa, nieskończona studnia potencjału - 289
 23.3.1 Wprowadzenie - 289
 23.3.2 Rozwiązanie równania Schrödingera - 290
 23.3.3 Funkcje falowe - 291
 23.3.4 Podsumowanie - 292
 23.4 Jednowymiarowa, skończona studnia potencjału - 292
 23.4.1 Wprowadzenie - 292
 23.4.2 Stany związane - 293
 23.4.3 Stany rozproszeniowe - 300
 23.4.4 Rozpraszanie niskoenergetyczne - 304
 23.5 Cząstka swobodna i pakiet falowy - 309
 23.5.1 Pakiet falowy - 309
 23.5.2 Pakiet gaussowski - 310
 23.5.3 Ewolucja pakietu gaussowskiego - 312
 23.5.4 Dyskusja - 315
24 (U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 317
 24.1 Wartości oczekiwane i dyspersje dla stanu superponowanego - 317
 24.1.1 Założenia wstępne - 317
 24.1.2 Obliczenia elementów macierzowych - 318
 24.1.3 Dyspersja energii - 318
 24.2 Pomiary i stany pośrednie - 319
 24.2.1 Doświadczenie 1: dwa kolejne pomiary - 319
 24.2.2 Doświadczenie 2: bez stanu pośredniego - 321
 24.2.3 Dyskusja - 321
25 (U.4) Równanie Schrödingera 323
 25.1 Pakiet falowy – raz jeszcze - 323
 25.1.1 Wartości oczekiwane h x i i h x 2 i - 323
 25.1.2 Wartości oczekiwane h p i i h p 2 i - 324
 25.2 Uogólnione twierdzenie o wiriale - 326
26 (U.5) Zasada nieoznaczoności 327
 26.1 Pakiet falowy minimalizujący zasadę nieoznaczoności - 327
 26.1.1 Wyprowadzenie postaci pakietu - 327
 26.1.2 Dyskusja wyników - 329
 26.2 Dyskusja doświadczenia interferencyjnego - 329
27 (U.6) Oscylator harmoniczny 332
 27.1 Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg - 332
 27.1.1 Ogólna postać rozwiązań - 332
 27.1.2 Dyskusja rozwinięć- Kwantowanie energii - 333
 27.2 Alternatywna postać funkcji falowych - 335
 27.3 Szacowanie energii stanu podstawowego z zasady nieoznaczoności - 337
 27.4 Operatory anihilacji i kreacji- Oscylator harmoniczny - 339
 27.4.1 Operatory anihilacji i kreacji – ogólna teoria - 339
 27.4.2 Operatory anihilacji i kreacji – podsumowanie - 343
 27.4.3 Zastosowanie do oscylatora harmonicznego - 344
28. (U.7) Notacja Diraca 350
 28.1 Przestrzeń dualna- Pojęcie bra - 350
 28.2 Operatory i ich sprzężenia - 351
29. (U.8) Reprezentacje w przestrzeni Hilberta 354
 29.1 Reprezentacje – dyskusja praktyczna - 354
 29.1.1 Wprowadzenie - 354
 29.1.2 Dyskusja zagadnień praktycznych - 355
 29.1.3 Dowolny stan | ? i - 356
 29.1.4 Uwagi końcowe - 358
 29.2 Zmiany reprezentacji - 358
 29.2.1 Dwie reprezentacje: \"stara\" i \"nowa\" - 358
 29.2.2 Własności transformacji - 359
 29.2.3 Uwagi końcowe - 362
30 (U.9) Reprezentacje położeniowa i pędowa 363
 30.1 Operator pędu w reprezentacji położeniowej- Twierdzenie pomocnicze - 363
 30.2 Funkcje falowe oscylatora harmonicznego w reprezentacji pędowej - 364
31 (U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie 367
 31.1 Równanie Schrödingera i operator ewolucji - 367
 31.1.1 Podstawowe de?nicje - 367
 31.1.2 Własności operatora ewolucji - 367
 31.1.3 Postać operatora ewolucji - 369
 31.2 Obraz Schrödingera - 370
 31.3 Obraz Heisenberga - 371
 31.3.1 Wektor stanu w obrazie Heisenberga - 371
 31.3.2 Operatory w obrazie Heisenberga - 371
 31.3.3 Ewolucja operatora w obrazie Heisenberga - 372
 31.3.4 Pewne dodatkowe własności obrazu Heisenberga - 373
 31.4 Obraz oddziaływania - 374
 31.4.1 Wektor stanu w obrazie oddziaływania - 375
 31.4.2 Równanie Schrödingera w obrazie oddziaływania - 375
 31.4.3 Operatory i ich ewolucja w obrazie oddziaływania - 376
 31.5 Ewolucja stanu układu w obrazie oddziaływania - 378
 31.5.1 Postawienie problemu - 378
 31.5.2 Rozwiązanie iteracyjne - 378
 31.6 Interpretacja szeregu iteracyjnego - 379
32. (U.11) Obroty i moment pędu 382
 32.1 Wprowadzenie - 382
 32.2 Podstawowe własności obrotów w R 3 - 383
 32.2.1 Obrót wektora - 383
 32.2.2 Obroty in?nitezymalne - 385
 32.2.3 Własności obrotów - 385
 32.3 Operatory obrotów w przestrzeni stanów (bez spinu) - 385
 32.3.1 De?nicja operatora obrotu - 385
 32.3.2 Własności operatora obrotu - 386
 32.3.3 Transformacja obserwabli - 387
 32.4 Obroty i momentu pędu - 388
 32.4.1 Obrót in?nitezymalny - 388
 32.4.2 Operator skończonego obrotu i moment pędu - 390
 32.4.3 Transformacje obserwabli - 390
 32.5 Relacje komutacyjne - 390
 32.6 Uwagi końcowe - 393
 32.6.1 Całkowity moment pędu - 393
 32.6.2 Niezmienniczość przy obrotach - 393
33. (U.12) Potencjał centralny 396
 33.1 Układ środka masy i ruch względny- Przypomnienie z ?zyki klasycznej - 396
 33.2 Model molekuły dwuatomowej- Potencjał Kratzera - 398
 33.2.1 Wprowadzenie - 398
 33.2.2 Radialne równanie Schrödingera - 399
 33.2.3 Pełna funkcja falowa - 402
 33.2.4 Kwantowanie energii - 403
 33.2.5 Rozwinięcie potencjału w otoczeniu r min = a - 405
 33.2.6 Dyskusja przybliżonego wyrażenia dla E nl - 406
 33.2.7 Wartość h r i w stanie podstawowym - 407
34. (U.13) Atom wodoropodobny 409
 34.1 Model Bohra – przypomnienie - 409
 34.1.1 Postulaty Bohra - 409
 34.1.2 Obliczenia E n i r n - 410
 34.2 Pęd radialny w atomie wodoropodobnym - 411
 34.2.1 Uwagi wstępne - 411
 34.2.2 Pęd radialny - 412
 34.2.3 Równania ruchu dla wielkości radialnych - 413
 34.3 Wzór rekurencyjny Kramersa dla h r s i nl - 413
 34.3.1 Zastosowanie twierdzenia o wiriale - 414
 34.3.2 Wykorzystanie równań ruchu dla wielkości radialnych - 414
 34.3.3 Pomocnicze wartości oczekiwane - 415
 34.3.4 Ostatni etap obliczeń - 416
35. (U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 418
 35.1 Przypomnienie ?zyki klasycznej - 418
 35.1.1 Równania Lagrange’a - 418
 35.1.2 Potencjał uogólniony U e dla cząstki w polu - 419
 35.1.3 Formalizm kanoniczny (hamiltonowski) - 420
 35.1.4 Krótka uwaga o cechowaniu - 421
 35.1.5 Hamiltonian cząstki klasycznej - 422
 35.2 Niezmienniczość ze względu na cechowanie - 422
 35.2.1 Niezmienniczość równania Schrödingera - 422
 35.2.2 Niezmienniczość prądu prawdopodobieństwa - 426
 35.3 Cechowanie i mechanika kwantowa - 427
 35.3.1 Uwagi wstępne - 427
 35.3.2 Transformacja wektora stanu - 428
 35.3.3 Ewolucja wektora stanu - 429
36. (U.15) Spin 432
 36.1 Własności momentu pędu – spinu 1/2 - 432
 36.1.1 Sformułowanie abstrakcyjne - 432
 36.1.2 Spin 1/2 w dowolnym kierunku - 433
 36.2 Nierelatywistyczny opis cząstki o spinie s - 437
 36.2.1 Wektory stanu – spinory - 437
 36.3 Przykłady operatorów dla s = 1, 2 - 438
 36.4 Spin 1/2 w polu magnetycznym - 440
 36.4.1 Wprowadzenie - 440
 36.4.2 Pole statyczne i pole zmienne w czasie - 441
 36.4.3 Równanie Schrödingera - 442
 36.4.4 Pole statyczne- Precesja Larmora - 446
 36.4.5 Oscylacje Rabiego - 447
 36.4.6 Widmo Mollowa - 449
 36.5 Pewne własności macierzy Pauliego - 451
37. (U.16) Dodawanie momentów pędu 453
 37.1 Złożenie orbitalnego momentu pędu i spinu 1/2 - 453
 37.1.1 Przejście do bazy sprzężonej - 453
 37.1.2 Obliczenia współczynników CG - 454
 37.1.3 Stany bazy sprzężonej w reprezentacji położeniowej - 460
 37.1.4 Przykład zastosowania: l = 1 i s = 1 2 461
 37.1.5 Stany bazy niesprzężonej via stany sprzężone - 462
 37.1.6 Unitarność współczynników Clebscha–Gordana - 463
 37.1.7 Przykład zastosowania - 464
38 (U.17) Stacjonarny rachunek zaburzeń 467
 38.1 Komentarze do ogólnej teorii - 467
 38.1.1 Rachunek zaburzeń dla stanu niezdegenerowanego - 467
 38.1.2 Rachunek zaburzeń dla stanu zdegenerowanego - 473
 38.2 Struktura subtelna w atomie wodoropodobnym - 474
 38.2.1 Hamiltonian i jego dyskusja - 474
 38.2.2 Poprawka do energii kinetycznej - 477
 38.2.3 Oddziaływanie spin-orbita - 481
 38.2.4 Struktura subtelna - 487
39 (U.18) Metoda wariacyjna 490
 39.1 Metoda wariacyjna - 490
 39.1.1 Uwagi wstępne - 490
 39.1.2 Twierdzenia pomocnicze - 490
 39.1.3 Funkcjonał E(?) szacuje energię od góry - 492
 39.1.4 Procedura obliczeń metodą wariacyjną - 494
 39.2 Przykład: energia stanu podstawowego atomu helopodobnego - 494
 39.2.1 Omówienie problemu - 494
 39.2.2 Wybór funkcji próbnej- Konstrukcja funkcjonału E(?) - 495
 39.2.3 Dyskusja wyników - 500
 39.2.4 Pierwszy rząd rachunku zaburzeń - 501
40 (U.19) Zaburzenia zależne od czasu 504
 40.1 Rachunek zaburzeń zależny od czasu - 504
 40.1.1 Omówienie problemu - 504
 40.1.2 Przybliżona ewolucja wektora stanu - 504
 40.1.3 Prawdopodobieństwo przejścia - 505
 40.2 Atom wodoru w zmiennym polu elektrycznym - 507
 40.2.1 Wprowadzenie - 507
 40.2.2 Prawdopodobieństwo przejścia – obliczenia - 508
 40.2.3 Prawdopodobieństwo przejścia | 1, 0, 0 i › | 2, l, m i - 511
 40.2.4 Stosowalność rachunku zaburzeń - 511
 40.3 Przybliżenie sekularne - 512
 40.3.1 Uwagi wstępne - 512
 40.3.2 Stany istotne w okolicach rezonansu - 513
 40.3.3 Zaniedbanie stanów nierezonansowych - 514
 40.3.4 Zaniedbanie składników szybko oscylujących - 514
 40.3.5 Rozwiązanie równań - 516

III DODATKI MATEMATYCZNE 518

 A Kon?uentna funkcja hipergeometryczna 519
 B Wielomiany Hermite’a i ich własności 522
 B.1 De?nicje - 522
 B.2 Relacje rekurencyjne i równanie różniczkowe Hermite’a - 523
 B.3 Całki z wielomianami Hermite’a - 524
 B.4 Inne sposoby obliczania całek - 527
 C Harmoniki sferyczne 528
 C.1 Wprowadzenie - 528
 C.1.1 Całka normalizacyjna I p (n) - 528
 C.2 Wyprowadzenie postaci Y l m (?, ?) dla m < l - 530
 C.2.1 Zastosowanie operatora obniżającego - 530
 C.2.2 Operator (L - /~) k w reprezentacji położeniowej - 531
 C.2.3 Harmoniki Y l m (?, ?) - 533
 C.3 Jawne obliczenia pewnych harmonik sferycznych - 533
 C.4 Inny sposób konstrukcji - 535
 C.5 Harmoniki i ich sprzężenia zespolone - 537
 C.6 Relacja rekurencyjna dla harmonik sferycznych - 538
 D Wielomiany Legendre’a, itp- 543
 D.1 Wielomiany Legendre’a - 543
 D.2 Stowarzyszone funkcje Legendre’a - 545
 D.3 Harmoniki sferyczne - 546
 D.3.1 Związek ze stowarzyszonymi funkcjami Legendre’a - 546
 D.3.2 Parzystość harmonik sferycznych - 547
 D.3.3 Harmoniki sferyczne to funkcje własne ~L 2 i L z - 547
 E Uwagi o wielomianach Laguerre’a 549
 E.1 Podstawy – de?nicje - 549
 E.2 Całki z wielomianami Laguerre’a - 550
 IV ZADANIA DOMOWE 555
 Seria 1 - 556
 Seria 2 - 558
 Seria 3 - 560
 Seria 4 - 562
 Seria 5 - 565
 Seria 6 - 567
 Seria 7 - 569
 Seria 8 - 571
 Seria 9 - 573
 Seria 10 - 575
 Skorowidz