Mechanics of non-holonomic systems: A New Class of control systems

رویکردی کلی برای استخراج معادلات حرکت سیستم‌های هولونومیک و غیرهولونومیک با محدودیت‌های هر مرتبه پیشنهاد شده است. سیستم معادلات حرکت در مختصات تعمیم یافته به عنوان یک رابطه یک بردار در نظر گرفته می شود که در فضایی مماس بر منیفولدی از همه موقعیت های ممکن سیستم در لحظه معین نشان داده می شود. فضای مماسی توسط معادلات محدودیت ها به دو فضای فرعی متعامد تقسیم می شود. در یکی از آنها برای قیود تا مرتبه دوم، حرکت کم با معادلات قیود و در دیگری برای قیود ایده آل، با معادله برداری بدون واکنش اتصالات توصیف می شود. در کل فضا، حرکت کم شامل ضرب کننده های لاگرانژی است. نشان داده شده است که برای محدودیت های هولونومیک و غیرهولونومیک تا مرتبه دوم، این ضریب ها را می توان به عنوان تابع زمان، موقعیت های سیستم و سرعت های آن یافت. استفاده از ضرب‌کننده‌های لاگرانژی برای سیستم‌های هولونومیک به ما اجازه می‌دهد تا روش جدیدی برای تعیین فرکانس‌های ویژه و شکل‌های ویژه نوسانات سیستم‌های الاستیک بسازیم و همچنین شکل خاصی از معادلات را برای توصیف سیستم حرکت اجسام صلب پیشنهاد کنیم. محدودیت‌های غیرهولونومیک که ترتیب آن‌ها بیشتر از دو است، به‌عنوان محدودیت‌های برنامه‌نویسی در نظر گرفته می‌شوند که اعتبار آن‌ها به دلیل وجود نیروهای کنترل تعمیم‌یافته، که به عنوان توابع زمان تعیین می‌شوند، تأمین می‌شود. سیستم بسته معادلات دیفرانسیل، که یافتن این نیروهای کنترلی را به عنوان مختصات لاگرانژ تعمیم یافته ممکن می سازد، مرکب است. تئوری پیشنهادی با مثال هایی از حرکت فضاپیما نشان داده شده است. این کتاب عمدتاً برای متخصصان مکانیک تحلیلی است.

A general approach to the derivation of equations of motion of as holonomic, as nonholonomic systems with the constraints of any order is suggested. The system of equations of motion in the generalized coordinates is regarded as a one vector relation, represented in a space tangential to a manifold of all possible positions of system at given instant. The tangential space is partitioned by the equations of constraints into two orthogonal subspaces. In one of them for the constraints up to the second order, the motion low is given by the equations of constraints and in the other one for ideal constraints, it is described by the vector equation without reactions of connections. In the whole space the motion low involves Lagrangian multipliers. It is shown that for the holonomic and nonholonomic constraints up to the second order, these multipliers can be found as the function of time, positions of system, and its velocities. The application of Lagrangian multipliers for holonomic systems permits us to construct a new method for determining the eigenfrequencies and eigenforms of oscillations of elastic systems and also to suggest a special form of equations for describing the system of motion of rigid bodies. The nonholonomic constraints, the order of which is greater than two, are regarded as programming constraints such that their validity is provided due to the existence of generalized control forces, which are determined as the functions of time. The closed system of differential equations, which makes it possible to find as these control forces, as the generalized Lagrange coordinates, is compound. The theory suggested is illustrated by the examples of a spacecraft motion. The book is primarily addressed to specialists in analytic mechanics.