Matrix convolution operators on groups

در دهه گذشته، عملگرهای کانولوشن توابع ماتریس به دلیل کاربردهای متنوعشان توجه غیرعادی را به خود جلب کرده اند. این تک نگاری برخی از پیشرفت های جدید در نظریه طیفی این عملگرها را ارائه می دهد. تنظیم، فضاهای L^p توابع با ارزش ماتریسی در گروه‌های فشرده محلی است. تمرکز بر روی طیف ها و فضاهای ویژه عملگرهای کانولوشن در این فضاها است که با معیارهای با ارزش ماتریس تعریف می شوند. در بین نتایج طیفی مختلف، طیف L² چنین عملگر کاملاً تعیین می‌شود و به عنوان یک کاربرد، طیف یک لاپلاسین گسسته در یک نمودار همگن با استفاده از این نتیجه محاسبه می‌شود. خواص انقباضی نیمه‌گروه‌های پیچش ماتریس مورد مطالعه قرار گرفته و کاربردهای توابع هارمونیک در گروه‌های دروغ و فضاهای متقارن ریمانی مورد بحث قرار گرفته‌اند. یک ویژگی جالب وجود ساختارهای جبری جردن در توابع ماتریس-هارمونیک است.

In the last decade, convolution operators of matrix functions have received unusual attention due to their diverse applications. This monograph presents some new developments in the spectral theory of these operators. The setting is the L^p spaces of matrix-valued functions on locally compact groups. The focus is on the spectra and eigenspaces of convolution operators on these spaces, defined by matrix-valued measures. Among various spectral results, the L²-spectrum of such an operator is completely determined and as an application, the spectrum of a discrete Laplacian on a homogeneous graph is computed using this result. The contractivity properties of matrix convolution semigroups are studied and applications to harmonic functions on Lie groups and Riemannian symmetric spaces are discussed. An interesting feature is the presence of Jordan algebraic structures in matrix-harmonic functions.