Maths Exercices et problemes HPrepa (2eme annee MP)

Table des Matières......Page 7
PARTIE I ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE......Page 15
Chapitre 1 Algèbre générale......Page 17
3 Un groupe isomorphe à (Z/ 2Z) p......Page 23
11 Polynômes de Tchebychev......Page 24
12 Majoration des polynômes et de leurs dérivées......Page 25
Chapitre 2 Compléments d'algèbre linéaire......Page 32
1 Pour s'entraîner......Page 37
6 Morphismes multiplicatifs de Mn (R) dans R......Page 38
9 Matrices et déterminants par blocs......Page 39
1 Les nombres de Stirling)......Page 40
3 Forme faible de Frobenius d'une matrice......Page 42
4 Matrices de transvection......Page 44
5 Décomposition LU......Page 45
Chapitre 3 Sous-espaces stables et réduction des endomorphismes......Page 69
2 Une équation matricielle......Page 73
6 Une réduction de matrice......Page 74
11 Valeurs propres et image d'un endomorphisme de M3(C)......Page 75
19 Convergence vers l'inverse d'une matrice......Page 76
23 Supplémentaire stable d'un sous-espace stable......Page 77
2 Résolution d'un système linéaire par la méthode de Gauss-Seidel......Page 78
Chapitre 4 Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques......Page 94
6 Quand le noyau et le cône isotrope sont confondus......Page 99
9 Réduction simultanée de deux formes quadratiques......Page 100
9 Élements propres d'un endomorphisme......Page 101
Chapitre 5 Espaces vectoriels euclidiens......Page 108
2 Et Gram-Schmidt......Page 115
6 Une inégalité d'Hadamard......Page 116
9 Élements propres d’un endomorphisme......Page 117
10 Pour s'entraîner. Espaces euclidiens......Page 118
14 Matrices diagonalisables commutant avec leur transposée......Page 119
18 Sur le groupe orthogonal......Page 120
21 Racines carrées de matrices symétriques définies positives......Page 121
22 Valeurs propres d'une matrice de Hilbert......Page 122
23 Interprétation géométrique de la matrice de Hilbert......Page 123
1 Tridiagonalisation d'une matrice symétrique réelle. Matrices de Householder......Page 124
2 Valeurs propres d'une matrice tridiagonale réelle......Page 125
3 La méthode de Choleski......Page 126
4 Problème des moindres carrés. Décomposition Q R......Page 127
Chapitre 6 Espace préhilbertien complexe. Espace hermitien......Page 157
4 Une suite orthonormale dans C[X]......Page 162
10 Déterminant de Gram......Page 163
13 Matrices unitaires......Page 164
15 Les endomorphismes normaux......Page 165
Chapitre 7 Géométrie affine et euclidienne......Page 178
2 Une distance non associée à une norme......Page 247
2 Point de Gergonne d’un triangle......Page 180
6 Quadrilatère tangent à une sphère......Page 181
8 Cercle, projection et perpendiculaires......Page 182
13 Tétraèdre équifacial......Page 183
15 Affixes des racines d'un polynôme......Page 184
17 Établissement de l'orbite d'une étoile double......Page 185
18 Les théorèmes de Pappus et de Pascal......Page 186
21 Une surface de révolution......Page 188
Chapitre 8 Géométrie différentielle......Page 212
2 Pour s'entraîner avec les coordonnées paramétriques......Page 215
6 Un exemple de courbe tracée sur une sphère......Page 216
9 Centres de courbure en O d'une famille de coniques......Page 217
14 Loxodromies de la sphère......Page 218
15 Cône tangent à une sphère......Page 219
PARTIE II ANALYSE......Page 239
Chapitre 9 Topologie......Page 241
7 Premiers termes du développement limité d’une suite définie implicitement......Page 248
13 L’espace de Hilbert (l²(N, R), ║ ║2)......Page 249
Algorithme : Accélération de convergence de suites......Page 250
Chapitre 10 Séries numériques......Page 260
5 Critère de condensation de Cauchy......Page 265
9 Équivalent d’un reste de série convergente......Page 266
11 Une méthode d’accélération de convergence......Page 267
14 Nature de la série......Page 268
Algorithme : Accélération de convergence de la série......Page 269
Chapitre 11 Dérivation, intégration......Page 283
3 Pour s’entraîner... avec l’intégration......Page 292
5 Une équation intégrale......Page 293
7 Transformée de Laplace et convolution......Page 294
9 Une suite de fonctions......Page 295
10 Comparaison à une intégrale de Riemann au voisinage de l’infini......Page 296
14 Où une intégrale double permet le calcul d’une intégrale simple......Page 297
2 Polynômes de Bernoulli......Page 298
3 Calcul de l’exponentielle sur un ordinateur......Page 299
Chapitre 12 Suites et séries de fonctions......Page 324
4 Continuité, dérivabilité......Page 327
8 Des séries trigonométriques......Page 328
Chapitre 13 Séries entières......Page 337
3 Un produit de Cauchy......Page 340
8 Développements en série entière......Page 341
10 Une équation fonctionnelle......Page 342
1 Approximations de Padé......Page 343
2 Calcul de π......Page 345
Chapitre 14 Séries de Fourier......Page 364
4 Série de Fourier d’un polygone......Page 366
9 Deux développements en série de Fourier sans calcul de coefficients de Fourier......Page 367
12 Convergence de la série ∑ an......Page 368
14 Elle ressemble à une série de Fourier, mais......Page 369
Algorithme : Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide......Page 370
Chapitre 15 Calcul differentiel......Page 387
2 Un problème d’extrema......Page 395
5 Changement de variables......Page 396
7 Des intégrales doubles......Page 397
1 Méthode du gradient à plus profonde descente......Page 398
2 La méthode de Newton pour une fonction de plusieurs variables......Page 399
3 Recherche des extrema......Page 400
Chapitre 16 Équations différentielles linéaires et non linéaires......Page 414
2 Une équation différentielle......Page 421
5 Inégalité et équation différentielle......Page 422
9 De l’une à l’autre......Page 423
12 Comportement à l’infini des solutions d’une équation différentielle......Page 424
13 Nombre de zéros d’une équation différentielle......Page 425
15 Une équation à variables séparables......Page 426
18 Systèmes dynamiques......Page 427
Algorithme : Résolution approchée d’un système différentiel......Page 428