Mathesis Universalis, Computability and Proof

در قطعه ای با عنوان Elementa Nova Matheseos Universalis (1683؟) لایب نیتس می نویسد "mathesis[…]باید ارائه شود روشی که از طریق آن می توان چیزهای قابل تصور را دقیقاً تعیین کرد». در بخش دیگری او ریاضی را "علم همه چیزهای قابل تصور" می داند. لایب نیتس همه رشته‌های ریاضی را شاخه‌هایی از ریاضی می‌داند و ریاضی را به عنوان یک علم کلی از اشکال می‌داند که نه تنها برای بزرگی‌ها بلکه برای هر شیئی که در تخیل ما وجود دارد، قابل استفاده است. که حداقل در اصل امکان پذیر است. mathesisبه عنوان یک علم کلی از اشکال، روابط احتمالی بین "اشیاء خودسر" ("objets quelconques") را بررسی می کند. این یک نظریه انتزاعی از ترکیب ها و روابط بین اشیاء است.

در سال 1810، برنارد بولزانو، ریاضیدان و فیلسوف، کتابچه ای با عنوان مشارکت در ارائه بهتر پایه ای از ریاضیات منتشر کرد. به گفته او، یک ارتباط عینی معیندر میان حقایقی وجود دارد که با یک میدان همگن خاص از اشیاء مرتبط هستند: برخی از حقایق "دلایل" هستند ("Gründe< /i>") از دیگران، و دومی "نتایج" ("Folgen") اولی است. به نظر می‌رسد رابطه دلیل-نتیجه همتای علیت در سطح رابطه بین قضایا صادق است. ابرهان دقیق در این زمینه به عنوان دلیلی که دلیل گزاره ای را که باید اثبات شود نشان می دهد، مشخص می شود. به نظر می رسد الزامات تحمیل شده بر اثبات های دقیق نتایج عادی سازی را در نظریه اثبات فعلی پیش بینی می کند.

مشارکت کنندگان Mathesis Universalis، محاسبه پذیری و اثبات، متخصصان برجسته در زمینه های علوم کامپیوتر، ریاضیات، منطق و فلسفه، تکامل این ایده‌ها و ایده‌های مرتبط را نشان می‌دهد و موضوعاتی را در نظریه اثبات، نظریه محاسبه‌پذیری، منطق شهودی، ساخت‌گرایی و ریاضیات معکوس بررسی می‌کند و عمیقاً در بررسی زمینه‌ای رابطه بین دقت ریاضی و تقاضا برای ساده‌سازی بررسی می‌شود.

In a fragment entitled Elementa Nova Matheseos Universalis (1683?) Leibniz writes “the mathesis […]shall deliver the method through which things that are conceivable can be exactly determined”; in another fragment he takes the mathesis to be “the science of all things that are conceivable.” Leibniz considers all mathematical disciplines as branches of the mathesis and conceives the mathesis as a general science of forms applicable not only to magnitudes but to every object that exists in our imagination, i.e. that is possible at least in principle. As a general science of forms the mathesis investigates possible relations between “arbitrary objects” (“objets quelconques”). It is an abstract theory of combinations and relations among objects whatsoever.

In 1810 the mathematician and philosopher Bernard Bolzano published a booklet entitled Contributions to a Better-Grounded Presentation of Mathematics. There is, according to him, a certain objective connection among the truths that are germane to a certain homogeneous field of objects: some truths are the “reasons” (“Gründe”) of others, and the latter are “consequences” (“Folgen”) of the former. The reason-consequence relation seems to be the counterpart of causality at the level of a relation between true propositions. Arigorous proof is characterized in this context as a proof that shows the reason of the proposition that is to be proven. Requirements imposed on rigorous proofs seem to anticipate normalization results in current proof theory.

The contributors of Mathesis Universalis, Computability and Proof, leading experts in the fields of computer science, mathematics, logic and philosophy, show the evolution of these and related ideas exploring topics in proof theory, computability theory, intuitionistic logic, constructivism and reverse mathematics, delving deeply into a contextual examination of the relationship between mathematical rigor and demands for simplification.