Mathematische Behandlung einer angenäherten quasilinearen Potentialgleichung der ebenen kompressiblen Strömung

جریان های تراکم پذیر صفحه در مجاورت سرعت صوت، به اصطلاح جریان های فراصوتی، توسط تعدادی از نویسندگان مورد بحث قرار گرفته است. (کتابشناسی شامل گزیده ای از تعداد زیادی از آثار اخیر مرتبط با این موضوع است: [11]، [12]، [7]، [27] تا [32]، [26]، [3]، [10]، [ 5، [8]، [9]، [21]، [22]، [33]، [34)1. قبلاً نمایش های خلاصه شده ای وجود دارد ([6]، [2)2، همچنین [13] و [20) را ببینید). ) اما این یک مشکل بسیار دشوار است و تقریباً همه راه حل های موجود تا کنون فقط راه حل های تقریبی هستند یا فقط برای مقابله با کارهای خاص در نظر گرفته شده اند، به عنوان مثال. B. جریان نازل، مناسب. مطالعات ارائه شده در این گزارش به منظور کمک بیشتر به انجام چنین وظایفی است. هدف اصلی همه مطالعات در مورد جریان‌های فراصوتی، توسعه یک روش محاسبه است که امکان محاسبه جریان را در لبه‌های پروفیل معین تحت یک جریان موازی با چنان سرعتی که می‌توان انتظار عبور از سرعت صوت را داشت، می‌دهد. این مسئله منجر به یک مسئله ارزش مرزی یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم غیرخطی از نوع مختلط می شود. حتی اگر حل چنین وظایف غیرخطی مستقیماً در سطح فعلی هنوز به طور کلی امکان پذیر نباشد (به [33) مراجعه کنید)، رویکردهایی برای مقابله با آنها در سطح تصویر مناسب وجود دارد. با تبدیل سطح فعلی به این سطح تصویر، معادله دیفرانسیل غیرخطی یک خطی نسبت داده می شود، اگرچه وظیفه مقدار مرزی اختصاص داده شده به یک با مرز آزاد تغییر می کند. چنین تحولی توسط TRICOMI گزارش شده است. به طور خلاصه در I. 2 ارائه شده است.

Ebene kompressible Strömungen in der Umgebung der Schallgeschwindigkeit, sog. transsonische Strömungen, sind von einer ganzen Reihe von Autoren be­ handelt worden. (Das Literaturverzeichnis enthält eine Auswahl aus der großen Zahl hierauf bezüglicher neuerer Arbeiten: [11], [12], [7], [27] bis [32], [26], [3], [10], [5], [8], [9], [21], [22], [33], [34)1. Es liegen auch bereits zusammenfassende Darstellungen vor ([6], [2)2, vgl. auch [13] und [20)). ) Doch handelt es sich um ein Problem von großem Schwierigkeitsgrad, und fast alle bisher vorliegenden Lösungen stellen nur Näherungslösungen dar bzw. sind nur zur Behandlung spezieller Aufgaben, z. B. Düsenströmungen, geeignet. Die im vorliegenden Bericht dargestellten Untersuchungen sollen einen weiteren Beitrag zur Behand­ lung solcher Aufgaben leisten. Ein Hauptziel aller Untersuchungen über trans­ sonische Strömungen ist die Entwicklung eines Rechenverfahrens, das die Be­ rechnung einer Strömung bei vorgegebenen Profilkanten unter einer parallelen Anströmung mit einer solchen Geschwindigkeit gestattet, daß ein Durchgang durch die Schallgeschwindigkeit zu erwarten ist. Diese Aufgabe führt auf ein Randwertproblem einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung von gemischtem Typ. Wenn auch die Lösung solcher nichtlinearen Aufgaben unmittelbar in der Stromebene noch nicht allgemein möglich ist (vgl. hierzu jedoch [33)), so liegen doch Ansätze zur Behandlung in einer ge­ eigneten Bildebene vor. Durch die Transformation der Stromebene auf diese Bildebene wird der nichtlinearen Differentialgleichung eine lineare zugeordnet, wobei jedoch die zugeordnete Randwertaufgabe in eine solche mit freiem Rand übergeht. Eine solche Transformation ist von TRICOMI angegeben worden. Sie wird in I. 2 kurz dargestellt.