Mathematiques Exercices incontournables (PC-PSI-PT)

Table des Matières......Page 6
Exercice 1.1 : Calcul d'un produit......Page 12
Exercice 1.2 : Propriétés des applications......Page 13
Exercice 1.3 : Division de polynômes......Page 14
Exercice 1.5 : Configuration géométrique......Page 15
Exercice 1.6 : Utilisation d'une base non canonique de Rn[X]......Page 17
Exercice 1.7 : Dés pipés et polynômes......Page 18
Exercice 1.8 : Sous-groupe......Page 19
Exercice 1.9 : Éléments nilpotents d'un anneau......Page 20
Exercice 2.1 : Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de polynômes......Page 22
Exercice 2.2 : Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de fonctions......Page 26
Exercice 2.3 : Étude d'un endomorphisme d'un espace d'endomorphismes......Page 29
Exercice 2.4 : Diagonalisation......Page 32
Exercice 2.5 : Réduction (PC-PSI)......Page 36
Exercice 2.6 : Réduction d'une matrice d'ordre 3 (PC-PSI)......Page 39
Exercice 2.7 : Trigonalisation......Page 43
Exercice 2.8 : Réduction d'une matrice à paramètres......Page 47
Exercice 2.9 : Diagonalisation simultanée (PC-PSI)......Page 49
Exercice 2.10 : Réduction des matrices de trace nulle......Page 51
Exercice 2.11 : Formes linéaires et base antéduale (PC-PSI)......Page 54
Exercice 2.12 : Formes linéaires et hyperplans (PC-PSI)......Page 57
Exercice 2.13 : Théorème de Cayley-Hamilton (PSI)......Page 61
Exercice 3.1 : Égalités du parallélogramme et de la médiane (PC-PT)......Page 68
Exercice 3.2 : Exemple de produit scalaire (PC-PT)......Page 69
Exercice 3.3 : Noyaux, images et adjoint (PSI)......Page 71
Exercice 3.4 : Exemple de matrice définie positive (PC-PSI)......Page 73
Exercice 3.5 : Construction de matrices positives (PC-PSI)......Page 75
Exercice 3.6 : Endormorphisme normal (PSI)......Page 76
Exercice 3.7 : Une inégalité sur le déterminant d'une matrice symétrique (PC-PSI)......Page 79
Exercice 3.8 : Racine carrée d'une matrice positive (PC-PSI)......Page 82
Exercice 3.9 : Décomposition polaire (PC-PSI)......Page 84
Exercice 4.1 : Réunion et intersection de boules (PC-PSI)......Page 86
Exercice 4.3 : Boule unité (PC-PSI)......Page 87
Exercice 4.4 : Normes dans Mn (C) (PC-PSI)......Page 88
Exercice 4.5 : Comparaison de normes (PC-PSI)......Page 89
Exercice 4.6 : Compacité du groupe des matrices orthogonales (PSI)......Page 90
Exercice 4.7 : Un fermé borné non compact (PSI)......Page 91
Exercice 4.9 : Comparaison de normes (PC-PSI)......Page 92
Exercice 4.10 : Encore une norme (PC-PSI)......Page 93
Exercice 4.11 : Détermination d'une fonction (PC-PSI)......Page 95
Exercice 5.1 : Nature de séries......Page 96
Exercice 5.2 : Nature de séries II (PSI)......Page 101
Exercice 5.3 : Quelques calculs explicites de sommes de séries......Page 107
Exercice 5.4 : Formule de Stirling......Page 112
Exercice 5.5 : Séparation des termes pairs et impairs......Page 115
Exercice 5.6 : Convergence et développement asymptotique......Page 118
Exercice 5.7 : Un critère de convergence......Page 120
Exercice 5.8 : Convergence et monotonie......Page 124
Exercice 5.9 : Équivalents et restes de séries......Page 127
Exercice 5.10 : Transformation d'Abel (PSI)......Page 136
Exercice 6.1 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions I (PSI)......Page 140
Exercice 6.2 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions II (PSI)......Page 142
Exercice 6.3 : Convergence uniforme d'une série de fonctions (PSI)......Page 144
Exercice 6.4 : Fonction de Riemann (PC-PSI)......Page 147
Exercice 6.5 : Régularité d'une série de fonctions (PC-PSI)......Page 153
Exercice 6.6 : Calcul d'intégrales à l'aide de séries de fonctions (PC-PSI)......Page 156
Exercice 6.7 : Intégration et convergence uniforme (PSI)......Page 161
Exercice 7.1 : Un calcul d'intégrale I......Page 168
Exercice 7.2 : Un calcul d'intégrale II......Page 171
Exercice 7.3 : Changement de variable......Page 175
Exercice 7.4 : Calcul d'une intégrale à paramètre......Page 176
Exercice 7.5 : Fonction  d'Euler......Page 181
Exercice 7.6 : Convergence de l'intégrale de Dirichlet......Page 184
Exercice 7.7 : Transformée de Laplace du sinus cardinal......Page 190
Exercice 7.8 : Calcul de l'intégrale de Dirichlet......Page 193
Exercice 7.9 : Une formule d'Euler......Page 197
Exercice 7.10 : Intégrale de Gauss......Page 206
Exercice 7.11 : Théorème de d'Alembert-Gauss......Page 211
8 Séries de Fourier......Page 218
Exercice 8.1 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries de Fourier I......Page 220
Exercice 8.2 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries de Fourier II......Page 223
Exercice 8.3 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries de Fourier III (PC-PSI)......Page 226
Exercice 8.4 : Relation de récurrence sur les coefficients de Fourier......Page 231
Exercice 8.5 : Expression d'une intégrale sous forme de série (PC-PSI)......Page 234
Exercice 8.6 : Inégalité de Wirtinger (PC-PSI)......Page 236
Exercice 9.1 : Calculs de sommes de séries numériques......Page 246
Exercice 9.2 : Calculs de rayons de convergence avec la règle de d'Alembert......Page 247
Exercice 9.3 : Calculs de rayons de convergence avec la définition......Page 248
Exercice 9.4 : Domaine de convergence......Page 250
Exercice 9.5 : Convergence et calcul de la somme I......Page 251
Exercice 9.6 : Convergence et calcul de la somme II......Page 252
Exercice 9.7 : Développement d'une fonction en série entière......Page 253
Exercice 9.8 : Avec une suite récurrente linéaire......Page 254
Exercice 9.9 : Détermination d'une somme......Page 256
Exercice 9.10 : Somme de deux séries......Page 257
Exercice 9.11 : Un équivalent de la somme......Page 258
Exercice 9.12 : Limite du quotient de deux sommes......Page 259
Exercice 9.13 : Calcul de la somme d'une série numérique......Page 260
Exercice 10.1 : Équations emboîtées......Page 264
Exercice 10.2 : Variation de la constante ou des constantes ?......Page 265
Exercice 10.3 : Utilisation d'une solution « évidente »......Page 268
Exercice 10.4 : Utilisation de séries entières (cas régulier)......Page 270
Exercice 10.5 : Utilisation de séries entières (cas singulier)......Page 272
Exercice 10.6 : Système différentiel d'ordre 2......Page 274
Exercice 10.7 : Système différentiel d'ordre 3 (A diagonalisable)......Page 278
Exercice 10.8 : Système différentiel d'ordre 3 (A trigonalisable)......Page 280
Exercice 11.1 : Continuité d'une fonction......Page 284
Exercice 11.2 : À propos du théorème de Schwarz......Page 285
Exercice 11.3 : Différentiabilité d'une fonction (PSI)......Page 286
Exercice 11.4 : Une équation aux dérivées partielles......Page 287
Exercice 11.5 : Équation des cordes vibrantes......Page 288
Exercice 11.6 : Dérivée directionnelle......Page 290
Exercice 11.7 : Recherche d'extremums......Page 291
Exercice 11.8 : Extremums sur un compact......Page 292
Exercice 11.9 : Extremums d'une fonction de 3 variables......Page 293
Exercice 11.10 : Majoration (PC-PSI)......Page 295
Exercice 11.11 : D'un extremum local à un extremum global (PC-PSI)......Page 296
Exercice 11.12 : Détermination d'un facteur intégrant d'une forme différentielle (PSI)......Page 299
Exercice 11.13 : Calcul d'une intégrale double......Page 301
Exercice 11.14 : Calcul d'une intégrale curviligne......Page 302
Exercice 12.1 : Droites tangentes et normales......Page 304
Exercice 12.2 : Enveloppe d'une famille de droites (PT)......Page 305
Exercice 12.3 Longueur et développée (PT)......Page 306
Exercice 12.4 : Plans tangents à une surface......Page 308
Exercice 12.5 : Intersection d'un cône et d'un plan......Page 309
Exercice 12.6 : Équation d'un cylindre......Page 310
Exercice 12.7 : Étude d'une quadrique......Page 312
Exercice 12.8 : Variations sur les normes usuelles du plan......Page 314
Exercice 12.9 : Quadrique dépendant d'un paramètre......Page 317
Exercice 12.10 : Détermination d'un cône......Page 319
Exercice 12.11 : Intersection d'une quadrique avec un plan et projection......Page 321
Index......Page 324