Mathematik sehen und verstehen: Schlüssel zur Welt

Cover......Page 1
Mathematik sehen\rund verstehen......Page 3
ISBN 9783827420442......Page 4
Vorwort......Page 6
Table of Contents\r......Page 8
1 Einleitung......Page 13
1.2 HistorischeszurLehrevonMathematik......Page 14
1.3 VorgehenindiesemBuch......Page 15
Codierung......Page 16
Welt der Funktionen......Page 17
Numerik......Page 18
Selbstverständnis der Mathematik......Page 19
1.5 EinigeBemerkungen......Page 20
Kryptografie in unserer Welt......Page 21
Alphabetische Verschlüsselung......Page 22
Verschlüsseln mit dem One-Time-Pad......Page 25
2.2 Primzahlen......Page 26
Faktorensuchen ist schwer......Page 27
Die Menge der Primzahlen......Page 28
2.3 Restklassen modulo n......Page 29
Vorschau auf die kryptografischen Rechnungen......Page 30
2.3.1 Der Modul der Restklassen modulo n......Page 31
2.3.2 Allgemeines Rechnen modulo n......Page 32
2.3.3 Multiplizieren modulo n......Page 34
2.3.4 Potenzieren modulo n......Page 36
Effektive Potenzierung mit powermod......Page 39
2.3.5 Inversenbestimmung modulo n......Page 40
2.3.6 Größter gemeinsamer Teiler und euklidischer Algorithmus......Page 41
Inversenbestimmung mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus......Page 43
2.4 KryptografischeVerfahren......Page 44
Diffie-Hellman-Protokoll......Page 45
Angriff auf das Diffie-Hellman-Protokoll......Page 46
2.4.2 RSA-Verschlüsselung......Page 47
Schlüsselerzeugungsphase......Page 48
Anwendungsphase......Page 49
Angriffe auf das RSA-Verfahren......Page 50
Nutzen der RSA-Verschlüsselung......Page 51
Verifizierung......Page 52
2.4.4 Zertifizierung der öffentlichen Schlüssel......Page 53
Beispiel für die Zertifizierung......Page 54
2.5 Rückblick auf diemoderne Kryptografie......Page 55
3.1 Europäische Artikelnummer: EAN......Page 57
Beweis der Fehlererkennung......Page 58
Aufbau des Strichcodes......Page 59
Eigenschaften der alten ISBN-10......Page 61
Beweis der Fehlererkennung......Page 62
Fehlerkorrigierende Codes......Page 63
Hamming-Code......Page 64
Hamming-Abstand......Page 65
3.4 RückblickaufdieCodierung......Page 66
4.1 AllerleiGraphen......Page 69
Grundideen der Graphentheorie......Page 70
Konstruktiver Existenzbeweis......Page 72
Bemerkungen zu den Sprechweisen......Page 73
4.1.2 BeschreibungvonGraphen......Page 74
4.2 AufspannendeBäume......Page 76
Algorithmen zu Spannbäumen......Page 77
4.2.2 Spannbäume in ungewichtetenGraphen......Page 78
Bemerkungen zur Lösungsvielfalt und zur Mathematikauffassung......Page 79
4.3 KürzesteWege......Page 80
Kürzeste Wege in gewichteten Graphen......Page 81
Algorithmus......Page 82
Konfliktgraphen......Page 85
Landkartenfärbung......Page 87
4.5 Graphentheorie: Rückblick und Ausblick......Page 88
Die verborgene Ordnung......Page 91
5.1 Ideevon Rekursion und Iteration......Page 93
5.1.1 Spinnwebdarstellung rekursiver Folgen......Page 94
5.1.2 Wachstumsvorgänge......Page 96
Logistisches Wachstum......Page 97
5.1.3 Feigenbaumdiagramm......Page 98
Entstehung eines Feigenbaumdiagramms......Page 99
Allgemeingültigkeit dieser Phänomene......Page 100
5.2.1 Wegfraktale, Lindenmayer-Systeme......Page 101
Lindenmayer-Worte und Ige lgrafik......Page 102
Dimension......Page 105
5.2.3 Iterierte-Funktionen-Systeme (IFS)......Page 107
Anwendungen der IFS-Fraktale......Page 111
5.3.1 Das echte Apfelmännchen......Page 112
Zusammenhang des Apfelmännchens mit dem Feigenbaumdiagramm......Page 116
5.3.2 Julia-Mengen......Page 117
Weitere Mandelbrot- und Julia-Mengen......Page 119
Lineare zelluläre Automaten......Page 120
Spiel des Lebens (Game of Life)......Page 121
Kettenbruchentwicklung......Page 123
Goldener Winkel beim Blattansatz......Page 124
Erklärung der Biologen......Page 125
Spiralen mit Fibonacci-Zahlen......Page 126
Die Sonnenblume......Page 127
6 Welt der Funktionen......Page 129
Funktionen in unserer Welt......Page 130
6.1.1 Parabeln und elementare Variationen......Page 132
Sprechweisen zu Funktionen und ihren Graphen......Page 133
Variation von Funktionen durch Verschieben......Page 134
Variation einer Funktion durch senkrechte Achsenstreckung......Page 136
Die allgemeine Parabel......Page 137
Umkehrung der Aufgabenstellung......Page 138
6.1.2 Geraden und Potenzfunktionen......Page 139
Potenzfunktionen......Page 140
6.1.3 Polynome inihrerVielfalt......Page 142
Klammern, Nullstellen und Grad bei Polynomen......Page 143
Schwierigkeiten mit dem Maßstab......Page 147
Polynome im „Affenkasten“......Page 148
6.1.4 Sinus, Kosinus und Musik......Page 149
Deutung der Sinuswellen in der Musik......Page 151
Trigonometrische Funktionen......Page 153
6.1.5 Exponentialfunktionen......Page 154
Das schnelle Wachstum der Exponentialfunktionen......Page 155
Der Logarithmus als Umkehrfunktion......Page 156
Die Inversen der trigonometrischen Funktionen......Page 158
6.2.1 Summe von Funktionen......Page 159
6.2.2 Produkt von Funktionen......Page 161
6.2.3 Verkettung von Funktionen......Page 162
6.3 Blick auf den Punkt: Ableitung......Page 163
6.3.1 Ableitungsfunktion......Page 164
Eigenschaften der Ableitungsgraphen......Page 166
Erzeugung eines qualitativen Ableitungsgraphen......Page 168
6.3.2 Die e-Funktion, das Geheimnis wird gelüftet......Page 169
6.4 Blick auf das Ganze: das Integral......Page 171
6.4.1 Definition des Integrals......Page 174
6.4.2 Weitere Anwendungen des Integrals......Page 177
6.5 Großartiger Zusammenhang......Page 178
Teppich abrollen mit der Integralfunktion......Page 179
6.6.1 Funktionen im 3D-Raum......Page 183
Zusammenwirken von 2D und 3D......Page 184
Wellenausbreitung......Page 186
6.6.2 Mathematische 3D-Lösungenim Bauwesen......Page 187
6.6.3 Noch höher hinaus......Page 190
Größter Wasserbehälter......Page 193
Optimale Ausleuchtung......Page 194
7.3 Lineare Optimierung......Page 196
7.4 Minimalflächen......Page 198
7.5 Methode der kleinsten Quadrate......Page 200
7.6 Optimierung ist überall......Page 202
8 Computer und Mathematik......Page 205
8.1 Binärsystem......Page 206
Zahlenhellseher......Page 208
Subtraktion mit Trick......Page 209
Binäre Kommazahlen......Page 210
8.2 Zahldarstellung im Computer......Page 211
Experimente mit Kommazahlen in Computern......Page 212
Maschinengenauigkeit......Page 213
Binäre Gleitkommazahlen in Computern......Page 214
8.3 Numerisch arbeitende Werkzeuge......Page 215
Tabellenkalkulationen......Page 216
8.4 Dynamische Mathematik......Page 217
Dynamische-Geometrie-Systeme (DGS)......Page 218
Dynamische-3D-Geometrie......Page 219
Vom Taschenrechner zum Handheld-Computer......Page 220
8.5 Computer-Algebra-Systeme (CAS)......Page 221
Computer in nicht-numerischen Anwendungen......Page 222
8.6 Berechenbarkeit......Page 223
Berechenbar, aber nicht effektiv berechenbar......Page 224
Die Klasse der NP-vollständigen Probleme......Page 225
8.7 Computer inunsererWelt......Page 227
9.1.1 Heron-Verfahren für Wurzeln......Page 229
9.1.2 Nullstellensuche......Page 231
Regula falsi (Sekantenverfahren)......Page 232
Newton-Verfahren......Page 233
9.1.3 Numerische Integration......Page 234
Was Kepler von Archimedes wusste......Page 235
Keplersche Integrationsregel......Page 236
Integration mit der Simpson-Rege......Page 237
9.2.1 Ein Taylor schneidert Polynomkleider, die fast passen......Page 238
9.2.2 Zwischenwerte: Interpolation mit Polynomen......Page 240
9.2.3 Splines: damit es in der richtigen Weise krumm wird......Page 241
9.2.4 Bézier-Splines: frei gestaltete Formen......Page 242
9.3 Fourier-Reihen......Page 244
Klangfarben......Page 245
Fourier-Reihe......Page 246
Beispiel für eine lineare Differenzialgleichung......Page 248
9.5 Ohne Numerik geht esnicht......Page 249
Fehler in der beschreibenden Statitik......Page 251
10.2 Wahrscheinlichkeitstheorie......Page 253
10.2.1 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff......Page 254
10.2.2 Axiome von Kolmogorow......Page 256
Deutung der Axiome an Laplace-Zufallsgeräten......Page 257
10.2.3 Mehrstufige Zufallsversuche......Page 258
10.3 Zufallsgröße, Erwartungswert und Verteilung......Page 259
Krüge für den Handwerkermarkt......Page 260
10.3.1 Kombinatorik......Page 261
10.3.2 Binomialverteilung......Page 264
Praktischer Umgang mit der Binomialverteilung......Page 268
Ein reales Beispiel......Page 269
10.3.3 Kumulierte Verteilungsfunktionen......Page 270
10.3.4 Normalverteilung......Page 272
Augensumme von n Würfeln......Page 274
Normalverteilung und Messwerte......Page 275
Pannen mit der Normalverteilung......Page 276
Verteilung von Mittelwerten......Page 277
10.4 Beurteilende Statistik......Page 278
Intervallschätzung im binomialen Fall......Page 279
Biolix’ Überlegungen......Page 280
10.4.2 Testen......Page 281
Vorbereitung......Page 282
Versuchsdurchführung (Teil 1)......Page 283
Allgemeine Vorgehensweise......Page 284
Hypothesentest mit den z-sigma-Grenzen......Page 287
Medizin......Page 288
Hypothesentest bei Messreihen......Page 289
10.5 Stochastik im Rückblick......Page 290
11 Geometrie......Page 291
Beweis......Page 292
Interaktive Erkundung des goldenen Schnittes......Page 295
11.2 Die Kegelschnitte......Page 297
Namensgeheimnis der Kegelschnitte......Page 298
Feuerwehrbeispiel......Page 301
Anwendungen der Parabelreflexion......Page 302
Die Parabel und ihre Leitgerade......Page 303
11.4 Reflexion bei Ellipsen und Hyperbeln......Page 305
Anwendungen der Ellipsenreflexion......Page 306
Ellipse, Hyperbel und ihr gemeinsamer Leitkreis......Page 307
Fadenkonstruktionen von Ellipse und Hyperbel......Page 309
11.5 Kaustiken und Katakaustiken......Page 310
11.6 Geometrie im Rückblick......Page 311
12.1 Mathematiker und Mathematikerinnen......Page 313
12.2 Algebra und Zahlaufbau......Page 315
Komplexe Zahlen......Page 317
12.3 Mathematische Schönheit......Page 319
Ein Beweis in der Geometrie......Page 321
Beweis......Page 322
Ein Beweis in der Analysis......Page 323
Beweis mit Teilfolgen......Page 325
12.5 Die unlösbaren Problemeder Antike......Page 326
12.6 Fazit......Page 328
13 Lösungen......Page 329
Literaturverzeichnis......Page 335
Index......Page 344