Mathematik im Reich der Töne

دغدغه اصلی این کتاب ارائه یک نمای کلی از ساختار ریاضی مقیاس ها بر اساس اصل فیثاغورثی، دیاتونیک و تن صدای تند است. ترازوها به ترتیب رشد تاریخی آنها بررسی می شوند. در ارتباط با مقیاس فیثاغورثی، آرای تعلیم فلسفی فیثاغورثی ها مورد بحث قرار گرفته و بحران ایده آلی که در این مکتب فلسفی در اثر ابطال آموزه های آنها رخ داده است، نشان داده می شود. محاسن و معایب ترازوی فیثاغورثی و دیاتونیک با یکدیگر سنجیده می شوند. در زمان‌های اخیر، اصل تنظیم تنظیم‌شده، که برای اولین بار توسط M. Mersenne توسعه داده شد، از خواسته‌های تمرین موسیقی برای سازهایی با صدای ثابت به منظور تعدیل رشد یافته است. پس از استقرار مقیاس لحن معتدل، یکی دیگر از الزامات بین المللی شدن زندگی موسیقی در اواسط قرن نوزدهم با تعیین تعداد مطلق ارتعاشات برآورده شد. این کتاب به ارتباط های متعددی بین ساختار ریاضی ترازوها و طراحی یا ساخت آلات موسیقی اشاره می کند. مفاهیم نوسان هارمونیک، رزونانس، ضربان و تجزیه و تحلیل هارمونیک یک نوسان تناوبی نیز از موضوعات مورد توجه است. انعکاس هندسی صدا در برخی از سطوح منحنی و رزونانس از نظر آکوستیک اتاق درمان می شود. با توضیح قانون وبر-فچنر و قانون اهم با استفاده از مثال ها و با مقایسه نسبت آکوردهای ماژور و مینور، روابط متقابل فیزیکی و روانی در ملاحظات گنجانده شده است.

Zentrales Anliegen dieses Buches ist es, einen Überblick über den mathematischen Aufbau der Tonleitern nach dem pythagore­ ischen, dem diatonischen und dem temperierten Stimmungs­ prinzip zu geben. Die Tonleitern werden in der Reihenfolge ihrer historischen Entwicklung behandelt. Im Zusammenhang mit der pythagoreischen Tonleiter wird auf die philosophischen Lehrmeinungen der Pythagoreer einge­ gangen und die ideelle Krise aufgezeigt, die in dieser Philo­ sophenschule als Folge der Widerlegung ihrer Lehren auftrat. Vorzüge und Nachteile der pythagoreischen und diatonischen Tonleitern werden gegeneinander abgewogen. In neuerer Zeit erwuchs aus den Forderungen der musikalischen Praxis nach Modulationsfähigkeit von Instrumenten mit fester Stimmlage das erstmalig von M. Mersenne ausgearbeitete Prinzip der temperierten Stimmung. Nach Durchsetzung der temperierten Tonskala wurde in der Mitte des 19. Jahrhunderts mit der Festlegung der absoluten Schwingungszahlen eine weitere Vor­ aussetzung für die Internationalisierung des Musiklebens er­ füllt. Dieses Buch weist auf zahlreiche Querverbindungen zwischen dem mathematischen Aufbau der Tonleitern und der Gestaltung bzw. Konstruktion von Musikinstrumenten hin. Die Begriffe harmonische Schwingung, Resonanz, Schwebung und harmo­ nische Analyse einer periodischen Schwingung sind gleichfalls Gegenstände der Betrachtung. Die geometrische Schallreflexion an einigen gekrümmten Flächen und die Resonanz werden im Hinblick auf die Raumakustik behandelt. Mit der Erläuterung sowohl des Weber-Fechnerschen Gesetzes als auch des Ohm­ sehen Gesetzes an Hand von Beispielen und mit der Gegenüber­ stellung der Verhältniszahlen von Dur-und Moll-Akkord wer­ den physikalisch-psychische Wechselbeziehungen in die Be­ trachtungen einbezogen.