Mathematik für Physiker Band 1: Grundkurs 7. Auflage

Cover......Page 1
Mathematik
für Physiker
Band 1: Grundkurs
7. Auflage......Page 3
ISBN 9783834812209......Page 4
Vorwort......Page 6
Inhalt......Page 8
1 Vorl¨aufiges ¨uber Mengen und Aussagen......Page 14
2 Vorl¨aufiges ¨uber die reellen Zahlen......Page 16
4 Das Rechnen in......Page 17
5 Die Anordnung der reellen Zahlen......Page 18
6 Vollst¨andige Induktion......Page 22
7 Intervalle......Page 26
8 Beschr¨ankte Mengen, obere und untere Schranken......Page 27
9 Maximum und Minimum......Page 28
11 Die Abz¨ahlbarkeit von......Page 29
12 Zur L¨uckenhaftigkeit von......Page 30
1 Supremum und Infimum......Page 31
2 Folgerungen aus dem Supremumsaxiom......Page 32
3 Folgen, Rekursion, Teilfolgen......Page 35
4 Nullfolgen......Page 36
5 S¨atze ¨uber Nullfolgen......Page 40
6 Grenzwerte von Folgen......Page 41
7 Existenz der......Page 45
8 Intervallschachtelungen......Page 46
9 Grenzwertfreie Konvergenzkriterien......Page 49
1 Die Folge......Page 53
2 Die Exponentialfunktion......Page 55
3 Funktionen, Abbildungen......Page 58
4 Die Logarithmusfunktion......Page 61
5 Die allgemeine Potenz und der Zehnerlogarithmus......Page 62
6 Zusammengesetzte Funktionen......Page 63
7 Polynome und rationale Funktionen......Page 64
8 Die trigonometrischen Funktionen......Page 70
1 Einfache Mengenalgebra......Page 77
2 Exkurs ¨uber logisches Schließen und Beweistechnik......Page 79
4 Beliebige Vereinigungen und Durchschnitte......Page 81
5 Beispiele zur Wahrscheinlichkeit......Page 82
6 Das mathematische Modell endlicher Zufallsexperimente......Page 84
7 Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten......Page 87
8 Kombinatorische Grundformeln (Teil I)......Page 89
9 Binomialkoeffizienten und Binomialverteilung......Page 94
10* Kombinatorische Grundformeln (Teil II)......Page 99
2 Vektoren in der ebenen Geometrie......Page 101
3 Koordinatendarstellung von Punkten und Vektoren......Page 105
4 Punkte und Vektoren......Page 108
5 Geraden und Strecken, Schnitt zweier Geraden......Page 109
6 Lineare 2× 2–Gleichungssysteme......Page 111
7 Abstand, Norm, Winkel, ebene Drehungen......Page 112
8 Komplexe Zahlen......Page 115
9 Die komplexe Exponentialfunktion......Page 121
10 Der Fundamentalsatz der Algebra, Beispiele......Page 122
11 Drehungen und Spiegelungen in komplexer Schreibweise......Page 125
1 Der Vektorraum......Page 127
2 Skalarprodukt, L¨angen, Winkel......Page 129
3 Das Vektorprodukt im......Page 133
4 Entwicklung nach Orthonormalsystemen, Orthonormalbasen......Page 138
5 Aufgaben......Page 140
1 Reihen im Reellen......Page 142
2 Konvergenzkriterien f¨ur Reihen......Page 146
3 Komplexe Folgen, Vollst¨andigkeit von......Page 149
4 Reihen mit komplexen Gliedern......Page 151
5 Cauchy–Kriterium und Majorantenkriterium......Page 153
6 Umordnung von Reihen......Page 155
7 Das Cauchy–Produkt......Page 159
1 Grenzwerte von Funktionen......Page 160
2 Stetigkeit......Page 166
3 Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen......Page 168
4 Die Haupts¨atze ¨uber stetige Funktionen......Page 169
5 Die Stetigkeit der Umkehrfunktion......Page 173
6* Der Satz von der gleichm¨aßigen Stetigkeit......Page 174
1 Vorbemerkungen......Page 176
2 Differenzierbarkeit und Ableitung......Page 178
3 Differentiation zusammengesetzter Funktionen......Page 181
4 Mittelwerts¨atze und Folgerungen......Page 184
5 Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion und Beispiele......Page 186
6 H¨ohere Ableitungen und Cn–Funktionen......Page 188
7 Taylorentwicklung......Page 190
8 Lokale Minima und Maxima......Page 194
9 Bestimmung von Grenzwerten nach de l’Hospital......Page 196
1 Taylorreihen......Page 198
2 Potenzreihen......Page 204
3 Gliedweise Differenzierbarkeit und Identit¨atssatz......Page 207
4 Theorie der Schwingungsgleichung......Page 209
5 L¨osung der Schwingungsgleichung durch komplexen Ansatz......Page 214
1 Treppenfunktionen und ihr Integral......Page 218
2 Der gleichm¨aßige Abstand zweier beschr¨ankter Funktionen......Page 221
3 Integrierbare Funktionen und Eigenschaften des Integrals......Page 223
4 Zwei wichtige Klassen integrierbarer Funktionen......Page 226
5 Der Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung......Page 228
6 Partielle Integration......Page 232
7 Die Substitutionsregel......Page 235
8 Integration rationaler Funktionen......Page 240
9 Integrale mit Potenzen von......Page 244
10 ¨Ubergang zum halben Winkel......Page 246
11 Schlußbemerkungen......Page 247
1 Problemstellungen, Beispiele......Page 249
2 Gleichm¨aßige Konvergenz von Folgen und Reihen......Page 250
3 Vertauschung von Grenz¨uberg¨angen......Page 255
4 Uneigentliche Integrale......Page 259
5 Substitution und partielle Integration, Gamma–Funktion......Page 264
1 Die lineare Differentialgleichung......Page 269
2 Zwei aufschlußreiche Beispiele......Page 274
3 Die separierte Differentialgleichung......Page 276
4 Zur¨uckf¨uhrung auf getrennte Variable......Page 283
5 Wegweiser: Differentialgleichungen in Band 1 und Band 2......Page 284
1 Wovon handelt lineare Algebra ?......Page 285
2 Vektorr¨aume......Page 287
3 Teilr¨aume......Page 290
4 Linearkombinationen, lineare H¨ulle, Erzeugendensystem......Page 292
5 Lineare Abh¨angigkeit und Unabh¨angigkeit......Page 293
6 Vektorr¨aume mit Basis......Page 295
1 Beispiele linearer Abbildungen......Page 300
2 Die Dimensionsformel......Page 302
4 Lineare Abbildungen und Matrizen......Page 304
5 Matrizenrechnung......Page 308
6 Invertierbare lineare Abbildungen und regul¨are Matrizen......Page 313
7 Basiswechsel und Koordinatentransformation......Page 314
1 Problemstellungen und Beispiele......Page 316
2 Allgemeines zur L¨osbarkeit und zur L¨osungsmenge......Page 317
3 Rangbedingungen......Page 318
4 Das Eliminationsverfahren f¨ur lineare Gleichungssysteme......Page 320
5 Interpolation und numerische Quadratur......Page 325
6 Die Methode der kleinsten Quadrate......Page 328
1 Beispiele......Page 330
2 Definition der Determinante......Page 332
3 Eigenschaften der Determinante......Page 337
4 Das Volumen von Parallelflachen......Page 341
5* Orientierung und Determinante......Page 344
1 Diagonalisierbarkeit und Eigenwertproblem......Page 345
2 Eigenwerte und Eigenvektoren......Page 347
3 Das charakteristische Polynom......Page 349
4 Diagonalisierbarkeit von Operatoren......Page 351
5 Entkopplung von Systemen linearer Differentialgleichungen......Page 354
1 Skalarproduktr¨aume......Page 356
2 Orthonormalsysteme und orthogonale Projektionen......Page 359
3 Das Orthonormalisierungsverfahren von Gram–Schmidt......Page 363
4 Unit¨are Abbildungen und Matrizen......Page 365
5 Matrix– und Transformationsgruppen......Page 370
1 Quadratische Formen......Page 375
2 Symmetrische Operatoren und quadratische Formen......Page 377
3 Diagonalisierbarkeit symmetrischer Operatoren......Page 379
4 Hauptachsentransformation......Page 381
5 Gekoppelte Systeme von Massenpunkten......Page 385
1 Normierte R¨aume......Page 389
2 Konvergente Folgen......Page 391
3 Offene und abgeschlossene Mengen......Page 392
4 Inneres, ¨ Außeres, Abschluß und Rand einer Menge......Page 395
5 Vollst¨andigkeit......Page 397
6 Kompakte Teilmengen......Page 398
7 Stetige Funktionen......Page 400
8 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen......Page 404
9 Zusammenhang, Gebiete......Page 405
1 Differenzierbarkeit und Ableitung......Page 407
2 Rechenregeln f¨ur differenzierbare Funktionen......Page 415
3 Gradient, Richtungsableitung und Hauptsatz......Page 419
4 Der Satz von Taylor......Page 424
5 Der Umkehrsatz und der Satz ¨uber implizite Funktionen......Page 429
6 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen......Page 439
1 Das Integral f¨ur Treppenfunktionen......Page 443
2 Integration stetiger Funktionen ¨uber kompakte Quader......Page 447
3 Das Volumen von Rotationsk¨orpern......Page 451
4 Das Integral stetiger Funktionen ¨uber offene Mengen......Page 452
5 Parameterintegrale ¨uber offene Mengen......Page 457
6 Sukzessive Integration......Page 459
7 Das......Page 463
8 Der Transformationssatz und Anwendungen......Page 466
1 Kurvenst¨ucke......Page 471
2 L¨ange und Bogenl¨ange......Page 473
3 Skalare Kurvenintegrale......Page 476
4 Vektorielle Kurvenintegrale......Page 477
5 Konservative Vektorfelder und Potentiale......Page 481
6* Kurvenintegrale und Potentiale in der Thermodynamik......Page 490
7 Divergenz, Laplace–Operator, Rotation, Vektorpotentiale......Page 492
1 Fl¨achenst¨ucke im......Page 494
2 Der Fl¨acheninhalt von Fl¨achenst¨ucken......Page 497
3 Oberfl¨achenintegrale......Page 501
1 ¨Ubersicht......Page 505
2 Der Integralsatz von Stokes......Page 506
3 Der Stokessche Integralsatz in der Ebene......Page 516
4 Der Integralsatz von Gauß......Page 520
5 Anwendungen des Gaußschen Satzes, Greensche Formeln......Page 526
6 Anwendungen der Integrals¨atze in der Physik......Page 528
1 Holomorphie, Cauchy–Riemannsche Differentialgleichungen......Page 534
2 Komplexe Kurvenintegrale und Stammfunktionen......Page 538
3 Analytische Funktionen......Page 545
4 Der Cauchysche Integralsatz......Page 548
5 Die Cauchysche Integralformel und ihre Konsequenzen......Page 550
6 Ganze Funktionen und Satz von Liouville......Page 553
7 Der Satz von Morera und Folgerungen......Page 555
8 Zusammenfassung der Haupts¨atze......Page 556
1 Einteilung isolierter Singularit¨aten......Page 557
2 Laurent–Entwicklung......Page 558
3 Charakterisierung isolierter Singularit¨aten......Page 563
4 Der Residuenkalk¨ul......Page 566
5 Der Residuensatz......Page 567
6 Berechnung von Reihen mit Hilfe des Residuensatzes......Page 568
7 Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes......Page 571
Namen und Lebensdaten......Page 574
Literaturverzeichnis......Page 575
Symbole und Abkürzungen......Page 577
Index......Page 579