Mathematik für das erste Semester: Analysis und Lineare Algebra für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Cover......Page 1
Mathematik für das erste
Semester......Page 4
ISBN 9783827425041......Page 5
Einige Worte vorab......Page 6
Unser Ziel......Page 7
Inhalt und Aufbau......Page 8
Inhaltsverzeichnis......Page 10
Analysis......Page 16
1 Worum geht es in der Analysis?......Page 18
2.2 Ein Vorrat an Buchstaben......Page 20
2.3 Vom richtigen Umgang mit der Aussagen-logik......Page 21
2.4 Vollst¨andige Induktion......Page 24
2.5 Mengen......Page 25
2.5.1 Ein kleiner Zoo wichtiger Mengen......Page 27
2.5.2 Wie aus bekannten Mengen neue entstehen......Page 28
2.6 Aufgaben......Page 31
2.7 L¨osungen......Page 32
3.2 Reelle Zahlen......Page 36
3.2.1 Rechnen mit Ungleichungen......Page 37
3.3 Summen und Produkte......Page 38
3.3.1 Fakult¨at und Binomialkoeffizient......Page 40
3.4 Komplexe Zahlen......Page 42
3.4.1 Polarkoordinaten......Page 44
3.5 Aufgaben......Page 46
3.6 L¨osungen......Page 47
4.1 Motivation und Definitionen......Page 52
4.2 Einige Eigenschaften von Abbildungen......Page 53
4.3 Komposition von Abbildungen......Page 57
4.4 Darstellung von Funktionen......Page 59
4.5 Aufgaben......Page 60
4.6 L¨osungen......Page 61
5.2.1 Polynome......Page 66
5.2.2 Rationale Funktionen......Page 67
5.3 Sinus, Kosinus und Tangens......Page 70
5.3.1 Einige Additionstheoreme......Page 72
5.4 Exponentialfunktion und Logarithmus......Page 73
5.4.1 Potenzund Logarithmusgesetze......Page 74
5.5 Weitere wichtige Funktionen......Page 75
5.7 L¨osungen......Page 78
6.2 Grundlagen......Page 84
6.3 Konvergenz und Divergenz......Page 85
6.4 Rechenregeln f¨ur Folgen......Page 88
6.6 Was noch ¨uber Folgen gewusst werden soll-te......Page 90
6.7 Das H¨aufungspunktprinzip und mehr......Page 91
6.8 Aufgaben......Page 92
6.9 L¨osungen......Page 93
7.1 Motivation......Page 98
7.2 Grundlegendes zu Reihen......Page 99
7.4 Konvergenzkriterien......Page 101
7.4.1 Majorantenkriterium......Page 103
7.4.3 Quotientenkriterium......Page 104
7.4.4 Leibniz-Kriterium......Page 105
7.6 L¨osungen......Page 106
8.1 Motivation......Page 110
8.2 Grundlagen zur Stetigkeit......Page 111
8.3 Zusammensetzung stetiger Funktionen......Page 114
8.4 Der Zwischenwertsatz......Page 115
8.5 Supremum, Infimum, Maximum und Mini-mum......Page 116
8.6 Maximum und Minimum f¨ur stetige Funk-tionen......Page 117
8.7 Aufgaben......Page 118
8.8 L¨osungen......Page 119
9.1 Motivation......Page 122
9.2 Grundlagen zur Differenziation......Page 123
9.3 Rechenregeln f¨ur Ableitungen......Page 125
9.4 Der Mittelwertsatz und Folgerungen daraus......Page 128
9.5 H¨ohere Ableitungen......Page 130
9.6.1 Schwingung eines Pendels......Page 131
9.6.2 Eigenschaften von Sinus und Kosinus......Page 132
9.7 Die Regel von l’Hospital......Page 133
9.8 Aufgaben......Page 135
9.9 L¨osungen......Page 136
10.2 Grundlegendes zu Potenzreihen......Page 142
10.3 Aufgaben......Page 145
10.4 L¨osungen......Page 146
11.1 Motivation......Page 150
11.2.1 Das Taylorpolynom......Page 151
11.2.2 Die Taylorreihe......Page 153
11.2.3 Fehlerabsch¨atzung......Page 157
11.3.1 Zur Berechnung lokaler Extrema......Page 159
11.5 L¨osungen......Page 162
12.1 Motivation......Page 166
12.2 Grundlagen zur Integration......Page 167
12.3 Der Hauptsatz......Page 170
12.4.1 Substitutionsregel......Page 172
12.4.2 Partielle Integration......Page 174
12.4.3 Integration rationaler Funktionen......Page 175
12.5 Das uneigentliche Integral......Page 177
12.5.2 Unbeschr¨ankte Integrationsgrenzen......Page 179
12.6 Aufgaben......Page 183
12.7 L¨osungen......Page 184
13.1 Motivation......Page 192
13.2 Grundlagen zu Fourierreihen......Page 193
13.3 Komplexe Darstellung der Fourierreihe......Page 196
Lineare Algebra......Page 200
14 Worum geht es in der Linearen Algebra?......Page 202
15.1 Motivation......Page 206
15.2 Vektorr¨aume......Page 207
15.3 Der Vektorraum der reellen Zahlen......Page 209
15.4 Der Vektorraum reellwertiger Funktionen auf......Page 210
15.5 Linearkombinationen......Page 211
15.6 Aufgaben......Page 216
15.7 L¨osungen......Page 217
16.2 Grundlagen zu linearen Abbildungen......Page 222
16.3 Kern und Bild......Page 224
16.4 Grundlegendes zu Matrizen......Page 226
16.5.1 Multiplikation von Matrizen......Page 228
16.5.2 Vektorraumstruktur f¨ur Matrizen......Page 230
16.6 Besondere Matrizen......Page 231
16.7 Aufgaben......Page 234
16.8 L¨osungen......Page 235
17.1 Motivation und elementare Anwendungen......Page 240
17.2 Grundlagen......Page 242
17.3 Gauß-Algorithmus......Page 243
17.3.1 Abweichungen vom Idealfall......Page 245
17.4 Die Struktur der L¨osungsmenge......Page 246
17.5 Zum Invertieren von Matrizen......Page 249
17.7 L¨osungen......Page 250
18.1 Motivation......Page 256
18.2 Definition und Berechnung......Page 257
18.2.3 Dreiecksmatrizen......Page 259
18.3.1 Determinante als Volumenform......Page 260
18.3.2 Determinante und Orientierung......Page 261
18.3.3 Determinante und lineare Unabh¨angigkeit......Page 262
18.4 Rechenregeln f¨ur die Determinante......Page 263
18.5 Das Kreuzprodukt......Page 264
18.6 Aufgaben......Page 265
18.7 L¨osungen......Page 266
19.2 Die Norm......Page 272
19.3 Das Skalarprodukt......Page 275
19.4 Orthonormalisierung nach Schmidt......Page 277
19.4.1 Das Verfahren......Page 280
19.5 Orthogonale Matrizen......Page 281
19.6 Aufgaben......Page 282
19.7 L¨osungen......Page 284
20.1 Motivation......Page 288
20.2 Koordinatenabbildungen und Koordinatenvektoren......Page 289
20.2.1 Das Geschehen im Diagramm......Page 290
20.3 Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen......Page 291
20.4 Matrixtransformation bei einem Basiswechsel......Page 293
20.5 Aufgaben......Page 295
20.6 L¨osungen......Page 296
21.2 Grundlagen......Page 302
21.3 Berechnung der Eigenwerte......Page 305
21.5 Vielfachheiten......Page 306
21.6 Hauptvektoren......Page 308
21.7 Diagonalisierbarkeit......Page 310
21.7.1 Diagonalisierung am Beispiel......Page 313
21.8 Aufgaben......Page 314
21.9 L¨osungen......Page 315
22.1 Motivation......Page 322
22.2 Grundlagen......Page 323
22.3 Umschreiben in ein System am Beispiel......Page 324
22.4 Einige Fragestellungen und erste Antwor-ten......Page 326
22.5 L¨osen durch Integration......Page 327
22.6 Standardl¨osungsansatz I......Page 328
22.7 Standardl¨osungsansatz II......Page 330
22.8 Finden einer partikul¨aren L¨osung......Page 331
22.9 Anfangswertprobleme......Page 333
22.10 Wronski-Test......Page 334
22.11 Beispiel f¨ur nicht-lineare Differenzialglei-chungen......Page 336
22.12 Aufgaben......Page 337
22.13 L¨osungen......Page 338
Klausuraufgaben......Page 344
23.1 Aufgaben......Page 346
23.2 L¨osungen......Page 349
24.1 Aufgaben......Page 358
24.2 L¨osungen......Page 361
Vom Umgang mit Prüfungen......Page 368
Die Vorbereitung......Page 369
Prüfungsangst?!......Page 370
Zur schriftlichen Prüfung......Page 371
Zur mündlichen Prüfung......Page 372
Literatur und Schlussbemerkungen......Page 374
Index......Page 376