Mathematik für Naturwissenschaftler: Was Sie im Bachelor wirklich brauchen und in der Schule nicht lernen

Cover......Page 1
Mathematik für\rNaturwissenschaftler......Page 4
ISBN 9783827428660......Page 5
Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 8
1.1 Einleitung......Page 12
1.2 Erklärungen und Bezeichnungen......Page 13
1.3 Rechnen mit Matrizen......Page 16
1.4 Rang einer Matrix......Page 21
1.5 Quadratische Matrizen......Page 26
1.6 Inverse Matrizen......Page 29
1.7 Orthogonale Matrizen......Page 30
2.1 Erste einfache Erklärungen......Page 34
2.2 Elementare Umformungen......Page 37
3.1 Bezeichnungen......Page 42
3.2 Existenz und Eindeutigkeit......Page 43
3.4.1 Die Grundaufgabe......Page 47
3.4.2 Existenz der L-R-Zerlegung......Page 52
3.4.3 L-R-Zerlegung und lineare Gleichungssysteme......Page 54
3.5 Pivotisierung......Page 56
3.5.1 L-R-Zerlegung, Pivotisierung und lineareGleichungssysteme......Page 61
3.5.2 L-R-Zerlegung, Pivotisierung und inverse Matrix......Page 63
4.1 Erste Erklärungen......Page 66
4.2 Beschränktheit......Page 70
4.3 Grenzwert einer Funktion......Page 72
4.4 Stetigkeit......Page 75
5.1 Partielle Ableitung......Page 80
5.2 Höhere Ableitungen......Page 86
5.3 Totale Ableitung......Page 88
5.4 Richtungsableitung......Page 95
5.5 Relative Extrema......Page 101
5.6 Wichtige Sätze der Analysis......Page 108
6 Kurvenintegrale......Page 114
6.1 Kurvenstücke......Page 115
6.2 Kurvenintegral 1. Art......Page 116
6.3 Kurvenintegral 2. Art......Page 124
6.4 Kurvenhauptsatz......Page 130
7.1 Berechnung des Doppelintegrals......Page 140
7.2 Transformation der Variablen......Page 146
7.3 Rechenregeln......Page 148
8 Dreifachintegrale......Page 152
8.1 Berechnung......Page 153
8.3 Transformation der Variablen......Page 154
8.4 Kugel- und Zylinderkoordinaten......Page 155
9.1 Oberflächenintegrale 1. Art......Page 160
9.2 Oberflächenintergale 2. Art......Page 164
10.1 Divergenz......Page 172
10.2 Der Divergenzsatz von Gauß......Page 173
10.3 Der Satz von Stokes......Page 175
11 Interpolation mit Splines......Page 182
11.1 Einführendes Beispiel......Page 183
11.2 Existenz und Eindeutigkeit der Polynominterpolation......Page 184
11.3 Interpolation mit linearen Splines......Page 187
11.4 Interpolation mit Hermite-Splines......Page 194
11.5 Interpolation mit kubischen Splines......Page 200
12 Gewöhnliche Differentialgleichungen......Page 206
12.2 Existenz und Eindeutigkeit......Page 207
12.3 Numerische Verfahren......Page 211
12.4 Euler-Polygonzug-Verfahren......Page 212
12.5 Zur Konvergenz des Euler-Verfahrens......Page 215
12.6 Runge-Kutta-Verfahren......Page 219
12.7 Zur Konvergenz des Runge-Kutta-Verfahrens......Page 221
12.8 Ausblick......Page 222
13.1 Typeinteilung......Page 224
13.2 Laplace- und Poisson-Gleichung......Page 226
13.2.1 Eindeutigkeit und Stabilität......Page 227
13.2.3 Differenzenverfahren f¨ur die Poissongleichung......Page 228
13.2.4 Zur Konvergenz......Page 233
13.3 Die Wärmeleitungsgleichung......Page 236
13.3.2 Zur Existenz......Page 237
13.3.3 Differenzenverfahren für die Wärmeleitungsgleichung......Page 239
13.3.4 Stabilität des Differenzenverfahrens......Page 243
13.4 Die Wellengleichung......Page 246
13.4.1 Eindeutigkeit und Stabilität......Page 248
13.4.3 Differenzenverfahren für die Wellengleichung......Page 249
13.4.4 Stabilität des Differenzenverfahrens......Page 254
14.1.1 Permutationen......Page 256
14.1.2 Variationen......Page 258
14.1.3 Kombinationen......Page 261
14.1.4 Ein Sitz- und ein ungelöstes Problem......Page 263
14.2.1 Definitionsversuch nach Laplace und von Mises......Page 267
14.2.2 Axiomatische Wahrscheinlichkeitstheorie......Page 272
14.2.3 Einige elementare Sätze......Page 274
14.2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit......Page 275
14.2.5 Zufallsvariable......Page 281
14.2.6 Verteilungsfunktion......Page 282
14.2.7 Erwartungswert und Streuung......Page 285
14.2.9 Gesetz der großen Zahlen......Page 288
14.2.10 Binomialverteilung......Page 289
14.2.11 Poissonverteilung......Page 291
14.2.12 Gauß- oder Normalverteilung......Page 292
14.2.13 Grenzwertsätze......Page 293
Literaturverzeichnis......Page 296
Index......Page 298