Mathematik für die ersten Semester

Inhaltsverzeichnis......Page 10
I Grundlagen......Page 14
1 Logik......Page 16
2 Mengen......Page 20
3 Relationen......Page 28
3.1 Abbildungen......Page 31
II Arithmetik......Page 36
4.1 Das Prinzip der vollständigen Induktion......Page 38
4.2 Der binomische Satz......Page 39
4.3 Primzahlen......Page 42
5.1 Die ganzen Zahlen......Page 44
5.2 Gruppe......Page 46
5.3 Die rationalen Zahlen......Page 47
5.4 Körper......Page 48
5.5 Die reellen Zahlen......Page 49
5.6 Die komplexen Zahlen......Page 50
III Elementare Geometrie......Page 56
6 Ebene Geometrie......Page 58
7 Trigonometrie......Page 64
8 Vektoren......Page 68
8.1 Vektoraddition......Page 69
8.2 Skalarmultiplikation......Page 70
8.3 Einheitsvektor......Page 71
8.4 Skalarprodukt......Page 72
8.5 Kreuzprodukt......Page 75
8.6 Parallelverschiebung......Page 76
8.7 Polarkoordinaten......Page 77
8.8 Vektorraum......Page 78
9.1 Geradengleichungen......Page 82
9.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden......Page 84
9.3 Ebenengleichungen......Page 86
9.5 Orthonormalbasis......Page 87
IV Lineare Algebra......Page 92
10 Lineare Gleichungssysteme......Page 94
10.2 Elementaroperationen......Page 96
10.3 Gaußsches Eliminationsverfahren......Page 97
11.1 Addition und Multiplikation von Matrizen......Page 102
11.2 Die transponierte Matrix......Page 104
11.3 Elementarmatrizen......Page 105
11.4 Inversion von Matrizen......Page 106
11.5 Das Matrixinversionsverfahren......Page 108
12 Determinanten......Page 112
12.1 Sätze über Determinanten......Page 114
12.2 Berechnung von Determinanten......Page 116
12.3 Die adjungierte Matrix......Page 120
12.4 Die Cramersche Regel......Page 122
13 Transformationen mit Matrizen......Page 126
13.1 Drehungen......Page 127
13.2 Streckung und Spiegelungen......Page 130
13.3 Orthogonale Matrizen......Page 131
13.4 Lösungsmengen irregulärer linearer Gleichungssysteme......Page 133
14.1 Das Verfahren nach Gauß und Seidel......Page 139
14.2 Stabilität......Page 140
V Algebra und Geometrie......Page 142
15 Polynome......Page 144
15.1 Geschlossene Lösungsverfahren......Page 148
15.2 Approximation der Nullstellen......Page 151
16 Zweidimensionale quadratische Formen......Page 156
16.1 Allgemeine Gleichungen zweiten Grades......Page 159
16.2 Eigenwerte und Eigenvektoren......Page 162
17.1 Die Ellipse......Page 164
17.2 Die Parabel......Page 171
17.3 Die Hyperbel......Page 173
17.4 Tangenten und Polaren der Kegelschnitte......Page 179
17.6 Begründung der Bezeichnung \"Kegelschnitt\"......Page 182
18 Sphärische Geometrie......Page 190
18.1 Sphärische Trigonometrie......Page 193
VI Infinitesimalrechnung......Page 196
19 Folgen......Page 198
20 Reihen......Page 206
21 Stetige Funktionen......Page 212
22 Funktionenfolgen und Funktionenreihen......Page 214
VII Differentialrechnung......Page 218
23 Der Differentialquotient......Page 220
23.1 Ableitungen einfacher Funktionen......Page 221
23.2 Ableitungsregeln......Page 223
24 Die Exponentialfunktion......Page 228
24.1 Der natürliche Logarithmus......Page 231
24.2 Grenzwerte......Page 232
24.4 Die allgemeine Potenz......Page 234
24.5 Logarithmisches Differenzieren......Page 235
25 Die Winkelfunktionen......Page 238
25.1 Die Kreisbogenfunktionen......Page 239
25.2 Die Hyperbelfunktionen......Page 241
26 Kurvendiskussion......Page 246
26.1 Beispiel einer Kurvendiskussion......Page 247
27.1 Der allgemeine binomische Satz......Page 250
27.2 Fourier-Analyse......Page 253
27.3 Die Taylor-Reihe......Page 255
28.1 Partielle Differentiation......Page 262
28.2 Das totale Differential......Page 264
28.3 Implizite Differentiation......Page 265
VIII Integralrechnung......Page 268
29 Das Integral......Page 270
30.1 Direkte Integration......Page 274
30.2 Integration mittels Substitution......Page 275
30.3 Partielle Integration......Page 276
30.4 Logarithmische Integration......Page 278
30.5 Partialbruchzerlegung......Page 279
30.6 Uneigentliche Integrale......Page 282
31 Kurvenlänge und Kurvenkrümmung......Page 286
32 Mehrfachintegrale......Page 288
32.1 Rotationskörper......Page 289
33.1 Beweis der Gleichungen für die Fourier-Koeffizienten......Page 292
33.2 Fourier-Transformation......Page 293
33.3 Etwas Funktionentheorie......Page 295
33.4 Laplace-Transformation......Page 297
33.5 Rechenregeln für die Laplace-Transformation......Page 300
IX Vektoranalysis......Page 304
34.1 Vektoralgebra......Page 306
34.2 Differentiation eines Vektorfeldes nach einem Skalar......Page 307
34.3 Räumliche Differentiation eines Feldes......Page 308
34.4 Mehrfache Differentiation eines Feldes......Page 311
34.5 Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten......Page 312
35 Integralsätze......Page 316
35.1 Der Satz von Gau......Page 317
35.2 Greensche Sätze......Page 319
35.3 Der Satz von Stokes......Page 320
X Differentialgleichungen......Page 324
36 Gewöhnliche Differentialgleichungen......Page 326
36.1 Homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten......Page 327
36.2 Lineare DGL mit Störfunktion......Page 328
36.4 Lösen von DGL mit der Laplace-Transformation......Page 329
Literatur......Page 332
Stichwortverzeichnis......Page 336