Mathematik-Fundament für Studierende aller Fachrichtungen

Inhalt......Page 3
Vorwort......Page 10
Variablen und Variablenbereiche......Page 17
Aussagen, Aussagefunktionen und Quantoren......Page 18
Aufbau der Mathematik – mathematische Schlussweisen......Page 22
Relationen......Page 25
Modellbildung......Page 26
Spezielle Mengen......Page 27
Mengenoperationen......Page 29
Abbildung von Mengen......Page 35
Mächtigkeit von Mengen und geordneten Mengen......Page 37
Begriff der natürlichen Zahlen......Page 39
Ziffernsysteme......Page 40
Rechnen mit natürlichen Zahlen (Zahlenstrahl)......Page 45
Teilbarkeitsregel......Page 48
Binomische Koeffizienten und binomischer Satz......Page 50
Prinzip der vollständigen Induktion......Page 53
Rechnen mit ganzen Zahlen (Zahlengerade)......Page 55
Rechnen mit Klammern......Page 58
Absolute Beträge......Page 61
Summen- und Produktzeichen......Page 62
Zahlenkörper......Page 65
Gleichheit rationaler Zahlen (Kürzen und Erweitern)......Page 67
Rechnen mit rationalen Zahlen......Page 68
Dezimalbrüche......Page 72
Rundungsregeln......Page 75
Begriff der reellen Zahlen......Page 77
Rechenoperationen der dritten Stufe......Page 80
Definition und Darstellung......Page 92
Gauß’sche Zahlenebene und trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen......Page 94
Rechenoperationen mit komplexen Zahlen und Exponentialdarstellung......Page 96
Grafisches Rechnen mit komplexen Zahlen......Page 101
Definition der Funktion......Page 104
Darstellungen von Funktionen......Page 105
Einteilung der Funktionen......Page 111
Besondere Eigenschaften von Funktionen......Page 113
Lineare Funktionen......Page 116
Quadratische Funktionen......Page 119
Potenzfunktionen......Page 122
Ganze rationale Funktionen (Hornerschema, Polynomdivision)......Page 124
Gebrochenrationale Funktionen......Page 125
Umkehrfunktionen......Page 126
Wurzelfunktionen......Page 127
Exponentialfunktionen......Page 129
Logarithmenfunktionen......Page 130
Trigonometrische Funktionen......Page 132
Arcusfunktionen......Page 133
Funktionen mit mehreren unabhängigen Veränderlichen......Page 136
Terme und Begriffe bei Gleichungen und Ungleichungen......Page 140
Einteilung der Gleichungen und Ungleichungen......Page 144
Lineare Gleichungen und Ungleichungen......Page 145
Systeme von linearen Gleichungen und Ungleichungen......Page 162
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen......Page 176
Polynomgleichungen......Page 184
Wurzelgleichungen......Page 192
Transzendente Gleichungen......Page 194
Begriffe und geometrische Grundelemente......Page 201
Geraden, Strecken und Winkel......Page 203
Symmetrie......Page 212
Geometrische Grundkonstruktionen......Page 215
Vielecke......Page 218
Kreise......Page 234
Projektionen......Page 240
Planimetrische Berechnungen......Page 241
Grundbegriffe und Volumenmessung......Page 248
Einteilung der Körper......Page 250
Berechnung von prismatischen Körpern......Page 251
Berechnung von pyramidenförmigen Körpern......Page 257
Polyeder......Page 267
Kugel und Kugelteile......Page 270
Winkelmessung......Page 274
Polarkoordinaten......Page 276
Winkelfunktionen......Page 281
Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen......Page 284
Werte der Winkelfunktionen für Winkel kleiner null und größer als......Page 286
Trigonometrische Berechnungsformeln......Page 287
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck......Page 289
Berechnungen am schiefwinkligen Dreieck......Page 294
Grundlagen der analytischen Geometrie und Koordinatensysteme......Page 303
Strecken und Geraden......Page 308
Kreis......Page 320
Kegelschnitte......Page 326
Projektionsverfahren......Page 332
Senkrechte Parallelprojektion......Page 333
Schräge Parallelprojektion......Page 344
Axonometrie......Page 346
Grundbegriffe......Page 349
Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen......Page 352
Endliche arithmetische und geometrische Partialsummenfolgen......Page 354
Vorzugszahlen, Zinseszinsrechnung, Wachstumsgeschwindigkeit und Rentenrechnung......Page 359
Grenzwert von Zahlenfolgen......Page 367
Grenzwert von Funktionen......Page 373
Stetigkeit von Funktionen......Page 379
Differenzenquotient......Page 380
Ableitungsregeln für elementare Funktionen......Page 386
Höhere Ableitungen......Page 390
Bestimmung der Ableitungen ganzrationaler Funktionen nach dem Hornerschema......Page 391
Differenzial und Differenzialquotient (Fehlerrechnung)......Page 392
Weitere Ableitungsregeln......Page 395
Zusammenfassung der Ableitungsregeln......Page 401
Grafische Differenziation......Page 405
Sätze zur Differenzialrechnung......Page 406
Anwendung der Differenzialrechnung......Page 407
Iterationen......Page 419
Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen......Page 422
Unbestimmte Integrale und Grundintegrale......Page 428
Integrationsregeln......Page 429
Integrationsverfahren......Page 432
Bestimmte Integrale......Page 439
Anwendung der Integralrechnung......Page 441
Numerische Integration......Page 470
Grafische Integration......Page 479
Begriff der DGL......Page 482
Trennung der Variablen......Page 483
Inhomogene DGL 1. Ordnung......Page 485
Lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten......Page 487
Lineare inhomogene DGL mit konstanten Koeffizienten......Page 489
Zusammenfassung......Page 492
Lineare Gleichungssysteme und Determinanten......Page 494
Zweireihige Determinante......Page 495
Dreireihige Determinante......Page 497
-reihige Determinanten......Page 499
>3......Page 500
Homogene Gleichungssysteme......Page 502
Inhomogene Gleichungssysteme......Page 504
Grundbegriffe......Page 505
Addition und Subtraktion von Vektoren......Page 507
Skalare Multiplikation......Page 509
Basis, Koordinaten und Ortsvektoren......Page 511
Rechnen mit Vektoren in Komponentendarstellung......Page 514
Vektorraum......Page 516
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren......Page 517
Skalarprodukt......Page 518
Vektorprodukt......Page 521
Spatprodukt......Page 524
Koordinatensystem......Page 525
und......Page 528
Länge einer Strecke und Winkel im......Page 530
Hesse’sche Normalform......Page 541
Zwei Geraden......Page 543
Flächeninhalt......Page 549
Ebenen......Page 551
Mehrere Ebenen......Page 556
Winkel......Page 562
Parallelität......Page 564
Orthogonalität......Page 567
Abstand......Page 570
Matrizenbegriff – Typ einer Matrix......Page 578
Spezielle Matrizen......Page 580
Relationen zwischen Matrizen......Page 582
Addition und Subtraktion von Matrizen, Multiplikation mit einer skalaren Größe......Page 584
Multiplikation von Matrizen und Schema von Falk......Page 585
Inversion von Matrizen und Austauschverfahren......Page 591
Matrizengleichungen......Page 596
Beispiele für Anwendungen der Matrizenrechnung in der Wirtschaft......Page 599
Lineare Optimierung......Page 604
Transportoptimierung......Page 617
Einführung......Page 625
Permutationen......Page 626
Variationen......Page 627
Kombinationen......Page 630
Entscheidungsalgorithmus......Page 632
Zufällige Ereignisse und Begriffe......Page 634
Kolmogoroff – Axiome als Grundlage der Wahrscheinlichkeitsdefinition......Page 636
Definitionen der Wahrscheinlichkeit......Page 641
Laplace-Verteilungen......Page 645
Multiplikationssatz......Page 647
Additionssatz und Multiplikationssatz als Pfadregel......Page 649
Technische Anwendung der beiden elementaren Wahrscheinlichkeitssätze......Page 653
Versuchen......Page 656
Abhängige und unabhängige Ereignisse......Page 657
Wahrscheinlichkeit von unabhängigen Ereignissen – Zusammenfassung......Page 658
Allgemeiner Multiplikationssatz......Page 660
Totale Wahrscheinlichkeit......Page 662
Satz von Bayes......Page 663
Diskrete und stetige Zufallsgrößen......Page 665
Verteilungsfunktionen, Erwartungswert, Varianz (Standardabweichung)......Page 667
Ungleichung von Tschebyscheff......Page 671
Bernoulli-Verteilung (Binomialverteilung)......Page 672
Poisson-Verteilung (S. D. Poisson 1781–1840)......Page 675
Normalverteilung (Gauß-Verteilung)......Page 679
Geometrische Verteilung......Page 688
Hypergeometrische Verteilung......Page 690
Skalierung – Urliste – Primärliste – Klasseneinteilung......Page 693
Absolute und relative Häufigkeit, kumulierte Häufigkeiten, grafische Darstellungen......Page 696
Mittelwerte......Page 698
Streuungsmaße......Page 706
Lineare Korrelation und Regression......Page 710
Trendrechnung......Page 720
Alternativtest......Page 727
Fehlermöglichkeiten beim Alternativtest......Page 728
Entscheidungsregel – Binomialverteilung......Page 730
Einseitiger und zweiseitiger Signifikanztest – Binomialverteilung......Page 733
Nullhypothese und Risiko beim Signifikanztest – Binomialverteilung......Page 739
Gütefunktion eines statistischen Tests – Binomialverteilung......Page 742
Signifikanztest bei großem Stichprobenumfang – Normalverteilung – Gauß-Verteilung......Page 746
Stichprobenmittel als Prüfvariable – Normalverteilung – Gauß-Verteilung......Page 750
Signifikanztest für den Erwartungswert bei bekannter Standardabweichung und bei unbekannter Standardabweichung – Normalverteilung......Page 751
Minimierung der Konsequenzen durch Fehlentscheidungen – Binomialverteilung......Page 759
Vertrauensintervall für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit......Page 761
Vertrauensintervall für einen unbekannten Erwartungswert......Page 763
Spezielle Testverfahren......Page 764
Tabellen......Page 783