Mathematics of Fuzzy Sets: Logic, Topology, and Measure Theory

ریاضیات مجموعه های فازی: منطق، توپولوژی و تئوری اندازه گیری تلاشی عمده برای ارائه انسجام بسیار مورد نیاز برای ریاضیات مجموعه های فازی است. بسیاری از این کتاب مطالب جدیدی است که برای استاندارد کردن این ریاضیات مورد نیاز است، و این جلد را به ابزار مرجع با جذابیت گسترده و همچنین بستری برای تحقیقات آینده تبدیل می کند. چهارده فصل در سه بخش سازماندهی شده است: منطق و مبانی ریاضی (فصل 1-2)، توپولوژی عمومی (فصل 3-10)، و اندازه گیری و نظریه احتمال (فصل 11-14).
فصل اول به منطق های غیر کلاسیک و مبانی نحوی و معنایی آنها می پردازد. فصل 2 مبانی نظری شبکه اپراتورهای قدرت مجموعه تصویر و پیش تصویر را شرح می دهد. فصل‌های 3 و 4 مبانی بدیهی و طبقه‌بندی توپولوژی عمومی را با استفاده از نگاشت‌های شبکه‌ای به عنوان یک ابزار اساسی بیان می‌کنند. فصل 3 بر روی مورد مبتنی بر ثابت، از جمله یک نظریه همگرایی که سودمندی بدیهیات زیربنایی را نشان می دهد، تمرکز دارد. فصل 4 بر روی حالت کلی‌تر مبتنی بر متغیر تمرکز می‌کند و یکپارچگی طبقه‌بندی مکان‌ها، فضاهای توپولوژیکی با پایه ثابت و فشرده‌سازی‌های مبتنی بر متغیر را ارائه می‌کند.
فصل 5 توپولوژی های با ارزش شبکه را به فضاهای توپولوژیکی احتمالی و فضاهای همسایگی فازی مرتبط می کند. فصل 6 به بررسی نقش مهم بدیهیات جداسازی در توپولوژی با ارزش شبکه از منظر مسائل تعبیه فضا و نقشه برداری می پردازد، در حالی که فصل 7 بدیهیات جداسازی را از منظر قضایای سنگ-چک-فشرده سازی و سنگ-نمایش بررسی می کند. فصل‌های 8 و 9 مهمترین مفاهیم و ویژگی‌های یکنواختی را معرفی می‌کنند، از جمله رویکردهای پوششی و اطراف و تئوری اساسی فضاهای یکنواخت پیش فشرده یا کامل [0,1]. فصل 10 ساختارهای جبری، توپولوژیکی و یکنواخت خط واقعی فازی و فاصله واحد فازی را مشخص می کند.
فصل 11 پایه های تئوری اندازه گیری تعمیم یافته و نمایش توسط هسته های مارکوف را می گذارد. فصل 12 نظریه مهم عملگرهای شرطی سازی را با کاربردهایی برای اندازه گیری شرطی سازی بدون نیاز، توسعه می دهد. فصل 13 عناصر شبه تحلیل را با کاربردهای معادله همیلتون و ژاکوبی و مسائل بهینه سازی ارائه می کند. فصل 14 به طور خلاصه به بررسی مبانی متغیرهای تصادفی فازی می پردازد که تفسیرهایی با مقدار [0،1] از مجموعه های تصادفی هستند.

Mathematics of Fuzzy Sets: Logic, Topology and Measure Theory is a major attempt to provide much-needed coherence for the mathematics of fuzzy sets. Much of this book is new material required to standardize this mathematics, making this volume a reference tool with broad appeal as well as a platform for future research. Fourteen chapters are organized into three parts: mathematical logic and foundations (Chapters 1-2), general topology (Chapters 3-10), and measure and probability theory (Chapters 11-14).
Chapter 1 deals with non-classical logics and their syntactic and semantic foundations. Chapter 2 details the lattice-theoretic foundations of image and preimage powerset operators. Chapters 3 and 4 lay down the axiomatic and categorical foundations of general topology using lattice-valued mappings as a fundamental tool. Chapter 3 focuses on the fixed-basis case, including a convergence theory demonstrating the utility of the underlying axioms. Chapter 4 focuses on the more general variable-basis case, providing a categorical unification of locales, fixed-basis topological spaces, and variable-basis compactifications.
Chapter 5 relates lattice-valued topologies to probabilistic topological spaces and fuzzy neighborhood spaces. Chapter 6 investigates the important role of separation axioms in lattice-valued topology from the perspective of space embedding and mapping extension problems, while Chapter 7 examines separation axioms from the perspective of Stone-Cech-compactification and Stone-representation theorems. Chapters 8 and 9 introduce the most important concepts and properties of uniformities, including the covering and entourage approaches and the basic theory of precompact or complete [0,1]-valued uniform spaces. Chapter 10 sets out the algebraic, topological, and uniform structures of the fundamentally important fuzzy real line and fuzzy unit interval.
Chapter 11 lays the foundations of generalized measure theory and representation by Markov kernels. Chapter 12 develops the important theory of conditioning operators with applications to measure-free conditioning. Chapter 13 presents elements of pseudo-analysis with applications to the Hamilton&endash;Jacobi equation and optimization problems. Chapter 14 surveys briefly the fundamentals of fuzzy random variables which are [0,1]-valued interpretations of random sets.