Mathematical tools for physics

   INTRODUCTION......Page 4
   BIBLIOGRAPHY......Page 6
Radians......Page 8
Hyperbolic Functions......Page 9
3.Gaussian Integrals......Page 11
4.erf and Gamma......Page 13
Why erf?......Page 14
5.Differentiating......Page 15
6.Integrals......Page 16
Riemann-Stieltjes Integrals......Page 18
Yes......Page 19
7.Polar Coordinates......Page 21
8.Sketching Graphs......Page 22
Exercises......Page 24
Problems......Page 26
1.The Basics......Page 31
2.Deriving Taylor Series......Page 32
3.Convergence......Page 33
Integral Test......Page 34
Quicker Comparison Test......Page 35
4.Series of Series......Page 36
5.Power series, two variables......Page 37
6.Stirling's Approximation......Page 38
Probability Distribution......Page 40
7.Useful Tricks......Page 42
8.Diffraction......Page 43
9.Checking Results......Page 45
Trajectory Example......Page 46
Electrostatics Example......Page 48
Estimating a hbox to 0pt{vbox to 0pt{vss hbox {pdfdest num pdfmarknumber xyz}vskip 0.01in}}write indexWriteB {{42}}immediate write indexWriteA {tough integral  indexgotolink {188}}{def !{ }tough integral}global advance pdfmarknumber by 1
elax......Page 49
Exercises......Page 51
Problems......Page 52
1.Complex Numbers......Page 59
2.Some Functions......Page 60
Complex Exponentials......Page 61
3.Applications of Euler's Formula......Page 62
Roots of Unity......Page 63
4.Geometry......Page 64
6.Logarithms......Page 65
7.Mapping......Page 66
Exercises......Page 67
Problems......Page 68
1.Linear Constant-Coefficient......Page 74
Damped Oscillator......Page 76
2.Forced Oscillations......Page 77
Regular Singular Points......Page 80
4.Some General Methods......Page 83
5.Trigonometry via ODE's......Page 84
6.Green's Functions......Page 85
7.Separation of Variables......Page 87
8.Circuits......Page 88
9.Simultaneous Equations......Page 90
10.Simultaneous ODE's......Page 92
11.Legendre's Equation......Page 94
12.Asymptotic Behavior......Page 97
Exercises......Page 98
Problems......Page 100
1.Examples......Page 107
2.Computing Fourier Series......Page 108
Computing an Example......Page 109
Notation......Page 110
Extending the function......Page 111
Fundamental Theorem......Page 112
Apply the Theorem......Page 114
4.Musical Notes......Page 116
Parseval's Identity......Page 117
Pure Frequency Forcing......Page 118
General Periodic Force......Page 119
6.Return to Parseval......Page 121
7.Gibbs Phenomenon......Page 122
Exercises......Page 123
Problems......Page 125
1.The Underlying Idea......Page 130
3.Examples of Vector Spaces......Page 131
Special Function Space......Page 133
Bases, Dimension, Components......Page 134
Differential Equations......Page 135
5.Norms......Page 136
Examples......Page 137
7.Bases and Scalar Products......Page 139
9.Cauchy-Schwartz inequality......Page 140
10.Infinite Dimensions......Page 141
Exercises......Page 143
Problems......Page 144
1.The Idea of an Operator......Page 150
3.Examples of Operators......Page 153
Components of Inertia......Page 155
Components of Dumbbell......Page 156
Parallel Axis Theorem......Page 157
4.Matrix Multiplication......Page 159
5.Inverses......Page 160
6.Rotations, 3-d......Page 161
7.Areas, Volumes, Determinants......Page 162
Trace......Page 166
8.Matrices as Operators......Page 167
9.Eigenvalues and Eigenvectors......Page 168
Example of Eigenvectors......Page 170
Example: Coupled Oscillators......Page 171
Similarity Transformations......Page 172
Eigenvectors......Page 173
12.Can you Diagonalize a Matrix?......Page 174
Differential Equations at Critical......Page 175
13.Eigenvalues and Google......Page 176
14.Special Operators......Page 177
Problems......Page 179
1.Partial Derivatives......Page 186
2.Chain Rule......Page 187
Differentials in Several Variables......Page 190
4.Geometric Interpretation......Page 191
Examples......Page 192
5.Gradient......Page 193
6.Electrostatics......Page 194
Vibrating Drumhead......Page 195
8.Cylindrical, Spherical Coordinates......Page 196
An Area......Page 197
Limits of Integration......Page 198
Solenoid......Page 199
10.Gradient in other Coordinates......Page 200
11.Maxima, Minima, Saddles......Page 201
Hessian......Page 202
12.Lagrange Multipliers......Page 203
Examples of Lagrange Multipliers......Page 204
Cross Section, Absorption......Page 207
Cross Section, Scattering......Page 208
14.Rainbow......Page 209
Exercises......Page 212
Problems......Page 213
1.Fluid Flow......Page 220
Example of Flow Calculation......Page 221
Another Flow Calculation......Page 222
2.Vector Derivatives......Page 223
Div, Curl, Strain......Page 224
3.Computing the divergence......Page 225
The Divergence as Derivatives......Page 226
Simplifying the derivation......Page 228
4.Integral Representation of Curl......Page 229
The Curl in Components......Page 230
6.Shorter Cut for div and curl......Page 231
8.Applications to Gravity......Page 232
Non-uniform density......Page 234
Boundary Conditions......Page 235
Back to the Problem......Page 236
Magnetic Boundary Conditions......Page 237
10.Index Notation......Page 238
11.More Complicated Potentials......Page 240
Exercises......Page 241
Problems......Page 243
1.The Heat Equation......Page 250
2.Separation of Variables......Page 251
Example......Page 252
3.Oscillating Temperatures......Page 254
4.Spatial Temperature Distributions......Page 255
The Heat Flow into the Box......Page 259
5.Specified Heat Flow......Page 260
6.Electrostatics......Page 262
More Electrostatic Examples......Page 266
7.Cylindrical Coordinates......Page 267
Example......Page 268
Problems......Page 270
1.Interpolation......Page 275
2.Solving equations......Page 277
3.Differentiation......Page 278
4.Integration......Page 281
Simpson's Rule......Page 282
Integration......Page 283
Runge-Kutta......Page 285
Adams Methods......Page 287
Backwards Iteration......Page 289
6.Fitting of Data......Page 290
7.Euclidean Fit......Page 291
Correlation, Principal Components......Page 293
8.Differentiating noisy data......Page 294
9.Partial Differential Equations......Page 295
Exercises......Page 297
Problems......Page 298
1.Examples......Page 302
Definition of ``Function''......Page 303
Functional......Page 304
Multilinear Functionals......Page 305
2.Components......Page 306
3.Relations between Tensors......Page 308
Symmetries......Page 309
4.Birefringence......Page 311
Reciprocal Basis......Page 315
Summation Convention......Page 316
Metric Tensor......Page 318
6.Manifolds and Fields......Page 319
7.Coordinate Bases......Page 320
Reciprocal Coordinate Basis......Page 323
Example......Page 324
8.Basis Change......Page 325
Exercises......Page 329
Problems......Page 330
1.Integrals......Page 333
Weighted Integrals......Page 334
2.Line Integrals......Page 335
Example......Page 336
3.Gauss's Theorem......Page 337
4.Stokes' Theorem......Page 338
Example......Page 340
Conservative Fields......Page 341
Vector Potentials......Page 342
5.Reynolds Transport Theorem......Page 343
6.Fields as Vector Spaces......Page 345
hbox to 0pt{vbox to 0pt{vss hbox {pdfdest num pdfmarknumber xyz}vskip 0.01in}}write indexWriteB {{339}}immediate write indexWriteA {Helmholtz Decomposition  indexgotolink {1699}}{def !{ }Helmholtz Decomposition}global advance pdfmarknumber by 1
elax......Page 346
Exercises......Page 348
Problems......Page 350
1.Differentiation......Page 356
2.Integration......Page 358
3.Power (Laurent) Series......Page 359
4.Core Properties......Page 361
6.Cauchy's Residue Theorem......Page 362
Example 3......Page 363
Example 4......Page 364
Example 6......Page 366
Example 7......Page 367
7.Branch Points......Page 368
Geometry of Branch Points......Page 369
Other Functions......Page 370
8.Other Integrals......Page 371
Example 8......Page 372
9.Other Results......Page 373
Exercises......Page 374
Problems......Page 376
1.Fourier Transform......Page 380
Examples......Page 381
2.Convolution Theorem......Page 382
3.Time-Series Analysis......Page 383
Example......Page 384
5.Green's Functions......Page 385
Example......Page 387
6.Sine and Cosine Transforms......Page 388
7.Wiener-Khinchine Theorem......Page 389
Problems......Page 391
1.Examples......Page 394
2.Functional Derivatives......Page 395
3.Brachistochrone......Page 399
x-independent......Page 400
4.Fermat's Principle......Page 401
5.Electric Fields......Page 402
6.Discrete Version......Page 405
7.Classical Mechanics......Page 407
8.Endpoint Variation......Page 408
9.Kinks......Page 410
Example......Page 411
10.Second Order......Page 413
Focus......Page 414
Thin Lens......Page 415
Exercises......Page 416
Problems......Page 417
1.Density......Page 420
2.Functionals......Page 422
3.Generalization......Page 423
Green's functions......Page 425
4.Delta-function Notation......Page 426
5.Alternate Approach......Page 427
6.Differential Equations......Page 429
Other Differential Equations......Page 431
7.Using Fourier Transforms......Page 432
8.More Dimensions......Page 433
Applications to Potentials......Page 434
Exercises......Page 436
Problems......Page 437
   INDEX......Page 440