Mathematical Models of Beams and Cables

Cover......Page 1
Title page......Page 5
Contents......Page 7
Preface......Page 13
Introduction......Page 15
List of Main Symbols......Page 25
Chapter 1. A One-Dimensional Beam Metamodel......Page 31
1.1. Models and metamodel......Page 32
1.2.1. Kinematics......Page 33
1.2.2. Dynamics......Page 35
1.2.3. The hyperelastic law......Page 39
1.2.4. The Fundamental Problem......Page 41
1.3. Internally constrained beams......Page 42
1.3.1. The mixed formulation for the internally constrained beam kinematics and constraints 
......Page 43
1.3.2. The displacement method for the internally constrained beam......Page 48
1.4. Internally unconstrained prestressed beams......Page 54
1.4.1. The nonlinear theory......Page 55
1.4.2. The linearized theory......Page 56
1.5.1. The nonlinear mixed formulation......Page 59
1.5.2. The linearized mixed formulation......Page 60
1.5.3. The nonlinear displacement formulation......Page 61
1.5.4. The linearized displacement formulation......Page 62
1.6. The variational formulation......Page 63
1.6.1. The total potential energy principle......Page 64
1.6.2. Unconstrained beams......Page 66
1.6.3. Constrained beams......Page 67
1.6.4. Unconstrained prestressed beams......Page 69
1.6.5. Constrained prestressed beams......Page 71
1.7. Example: the linear Timoshenko beam......Page 74
1.8. Summary......Page 77
2.1.1. The displacement and rotation fields......Page 85
2.1.2. Tackling the rotation tensor......Page 90
2.1.3. The geometric boundary conditions......Page 93
2.1.4. The strain vector......Page 94
2.1.5. The curvature vector......Page 98
2.1.6. The strain–displacement relationships......Page 103
2.1.7. The velocity and spin fields......Page 104
2.1.8. The velocity gradients and strain-rates......Page 108
2.2. Dynamics......Page 112
2.2.1. The balance of virtual powers......Page 113
2.2.2. The inertial contributions......Page 118
2.2.3. The balance of momentum......Page 121
2.2.4. The scalar forms of the balance equations and boundary conditions......Page 127
2.2.5. The Lagrangian balance equations......Page 129
2.3.1. The hyperelastic law......Page 132
2.3.2. Identification of the elastic law from a 3D-model......Page 134
2.3.3. Homogenization of beam-like structures......Page 140
2.3.4. Linear viscoelastic laws......Page 142
2.4. The Fundamental Problem......Page 144
2.4.1. Exact equations......Page 145
2.4.2. The linearized theory for elastic prestressed beams......Page 148
2.5.1. Kinematics......Page 152
2.5.2. Dynamics......Page 154
2.5.3. The Virtual Power Principle......Page 156
2.5.5. The Fundamental Problem......Page 157
2.6. Summary......Page 159
3.1. The reference configuration and the initial curvature......Page 163
3.2.1. Kinematics......Page 167
3.2.2. Dynamics......Page 172
3.2.4. The Fundamental Problem......Page 174
3.3. The planar curved beam......Page 182
3.3.1. Kinematics......Page 183
3.3.2. Dynamics......Page 185
3.3.4. Constitutive law......Page 187
3.3.5. Fundamental Problem......Page 188
3.4. Summary......Page 190
4.1. Stiff beams and internal constraints......Page 193
4.2. The general approach......Page 196
4.3. The unshearable straight beam in 3D......Page 198
4.3.1. The mixed formulation......Page 199
4.3.2. The displacement formulation......Page 202
4.4. The unshearable straight planar beam......Page 207
4.5. The inextensible and unshearable straight beam in 3D......Page 210
4.5.1. Hybrid formulation: Version I......Page 211
4.5.2. Hybrid formulation: Version II......Page 212
4.6.1. Hybrid formulation: Version I......Page 213
4.6.2. Hybrid formulation: Version II......Page 215
4.6.3. The mixed formulation......Page 216
4.6.4. The direct condensation of the elastica equilibrium equations......Page 218
4.7. The inextensible, unshearable and untwistable straight beam......Page 220
4.8. The foil-beam......Page 222
4.9. The shear–shear–torsional beam......Page 223
4.10.1. The hybrid formulation......Page 227
4.10.2. The mixed formulation......Page 230
4.11. Summary......Page 231
5.1. Flexible cables as a limit of slender beams......Page 235
5.2.1. Kinematics......Page 237
5.2.2. Dynamics......Page 243
5.2.3. Constitutive law......Page 247
5.2.4. The Fundamental Problem......Page 248
5.3.1. Quasi-exact models......Page 250
5.3.2. The linearized theory......Page 255
5.3.3. Taut strings......Page 257
5.4. Shallow cables......Page 260
5.4.1. An approximated nonlinear model......Page 261
5.4.2. An approximated linearized model......Page 264
5.5. Inextensible cables......Page 265
5.5.1. Inextensible unprestressed cables......Page 266
5.5.2. Inextensible prestressed cables .......Page 267
5.6. Summary......Page 270
6.1. Motivations......Page 273
6.2.1. Kinematics......Page 276
6.2.2. Dynamics......Page 279
6.2.4. The Fundamental Problem......Page 281
6.3. Prestressed stiff cables......Page 282
6.3.1. Nonlinear model......Page 283
6.3.2. The linearized model......Page 286
6.3.3. Taut strings......Page 288
6.4.1. Sagged cables......Page 291
6.4.2. Shallow cables......Page 293
6.5. Inextensible stiff cables......Page 294
6.5.1. Unprestressed cables......Page 295
6.5.2. Prestressed cables......Page 296
6.5.3. Reduced model......Page 298
6.6. Summary......Page 299
7.1. Motivations......Page 301
7.2. A one-dimensional direct model for double-symmetric TWB......Page 303
7.3. A one-dimensional direct model for non-symmetric TWB......Page 307
7.4. Identification strategy from 3D-models of TWB......Page 314
7.5. A fiber-model of TWB......Page 315
7.6.1. Kinematics......Page 319
7.6.2. Identification procedure......Page 323
7.7. Unwarpable, cross-deformable, planar TWB......Page 329
7.7.1. Kinematics......Page 330
7.7.2. Identification procedure......Page 333
7.7.3. The Fundamental Problem......Page 337
7.8. Summary......Page 338
8.1. Introduction......Page 341
8.2.1. The Vlasov constraint for open TWB......Page 342
8.2.2. The Bredt constraint for tubular TWB......Page 344
8.2.3. The Brazier constraint for planar TWB......Page 346
8.3.1. The unconstrained model......Page 347
8.3.2. The mixed formulation for the constrained model......Page 349
8.3.3. The displacement formulation for the constrained model......Page 353
8.4. The general problem for warpable TWB......Page 354
8.5. Cross-deformable planar TWB......Page 358
8.6. Summary......Page 362
Bibliography......Page 365
Index......Page 375