Mathematical Aspects of Reacting and Diffusing Systems

مدل‌سازی و تحلیل دینامیک مخلوط‌های شیمیایی با استفاده از معادلات دیفرانسیل یکی از دغدغه‌های اصلی نظریه‌پردازان مهندسی شیمی است. این معادلات اغلب به شکل سیستم‌های معادلات دیفرانسی جزئی سهموی غیرخطی یا معادلات واکنش- انتشار، زمانی که انتشار مواد شیمیایی درگیر باشد، به خود می‌گیرند. با بازخوانی دو جلد از R. Aris (1975) که خود یکی از مشارکت کنندگان اصلی این نظریه بود، می توان دید کلی خوبی از این تلاش داشت. اشتیاق برای مدل‌های توسعه‌یافته توسط بخش‌هایی از جامعه ریاضی به اشتراک گذاشته شده است و این مدل‌ها در واقع انگیزه‌ای برای برخی نتایج زیبای ریاضی فراهم کرده‌اند. شباهت هایی بین راکتورهای شیمیایی و سیستم های بیولوژیکی خاص وجود دارد. یکی از این قیاس ها کاملاً واضح است: یک موجود زنده واحد ساختاری پویا است که از مولکول ها و یون ها ساخته شده است که بسیاری از آنها واکنش نشان می دهند و منتشر می شوند. سایر تشبیهات کمتر آشکار هستند. به عنوان مثال، پتانسیل الکتریکی یک غشاء می تواند مانند یک ماده شیمیایی منتشر شود، و البته می تواند با گونه های شیمیایی واقعی (یون ها) که از طریق غشاء منتقل می شوند، تعامل داشته باشد. این حقایق باعث ایجاد مدل مشهور هوچکین و هاکسلی برای انتشار سیگنال‌های عصبی شد. در سطح جمعیت، افراد با یکدیگر تعامل دارند و حرکت می‌کنند، و بنابراین جای تعجب نیست که در اینجا، دوباره، ساده‌ترین مدل‌های پیوسته تعامل فضا-زمان-مهاجرت ظاهری مشابه با مدل‌های انتشار و واکنش سیستم‌های شیمیایی دارند. /p>

Modeling and analyzing the dynamics of chemical mixtures by means of differ- tial equations is one of the prime concerns of chemical engineering theorists. These equations often take the form of systems of nonlinear parabolic partial d- ferential equations, or reaction-diffusion equations, when there is diffusion of chemical substances involved. A good overview of this endeavor can be had by re- ing the two volumes by R. Aris (1975), who himself was one of the main contributors to the theory. Enthusiasm for the models developed has been shared by parts of the mathematical community, and these models have, in fact, provided motivation for some beautiful mathematical results. There are analogies between chemical reactors and certain biological systems. One such analogy is rather obvious: a single living organism is a dynamic structure built of molecules and ions, many of which react and diffuse. Other analogies are less obvious; for example, the electric potential of a membrane can diffuse like a chemical, and of course can interact with real chemical species (ions) which are transported through the membrane. These facts gave rise to Hodgkin's and Huxley's celebrated model for the propagation of nerve signals. On the level of populations, individuals interact and move about, and so it is not surprising that here, again, the simplest continuous space-time interaction-migration models have the same g- eral appearance as those for diffusing and reacting chemical systems.