Mathematical Analysis: An Introduction

این یک کتاب درسی مناسب برای یک دوره یک ساله تجزیه و تحلیل در مقطع کارشناسی پیشرفته یا احتمالاً در مقطع کارشناسی ارشد است. این برای دانش آموزان با پیشینه قوی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و جبر خطی و انگیزه قوی برای یادگیری ریاضیات در نظر گرفته شده است. در این مرحله از تحصیل، به چنین دانش‌آموزانی عموماً یک درس جبر انتزاعی و یک دوره تجزیه و تحلیل داده می‌شود که مبانی این دو حوزه را همانطور که ریاضیدانان امروزی تصور می‌کنند ارائه می‌کند. ریاضیات در حال حاضر موضوعی است که به چندین تخصص و زیر تخصص تقسیم شده است، اما بیشتر آن را می توان تقریباً در سه دسته قرار داد: جبر، هندسه و تجزیه و تحلیل. در واقع، تقریباً تمام ریاضیاتی که امروزه انجام می‌شود، آمیزه‌ای از جبر، هندسه و تجزیه و تحلیل است، و برخی از جالب‌ترین نتایج با استفاده از تجزیه و تحلیل در جبر، مثلاً، یا هندسه در تجزیه و تحلیل، به شیوه‌ای تازه و شگفت‌آور به دست می‌آیند. پس این دسته بندی ها نشان دهنده چیست؟ جبر ریاضیاتی است که از تجربیات باستانی جمع و ضرب اعداد کامل ناشی می شود. با متناهی و گسسته سروکار دارد. هندسه ریاضیاتی است که از تجربه فضایی رشد می کند. مربوط به شکل و فرم و اندازه گیری است، جایی که جبر با شمارش سروکار دارد.

This is a textbook suitable for a year-long course in analysis at the ad­ vanced undergraduate or possibly beginning-graduate level. It is intended for students with a strong background in calculus and linear algebra, and a strong motivation to learn mathematics for its own sake. At this stage of their education, such students are generally given a course in abstract algebra, and a course in analysis, which give the fundamentals of these two areas, as mathematicians today conceive them. Mathematics is now a subject splintered into many specialties and sub­ specialties, but most of it can be placed roughly into three categories: al­ gebra, geometry, and analysis. In fact, almost all mathematics done today is a mixture of algebra, geometry and analysis, and some of the most in­ teresting results are obtained by the application of analysis to algebra, say, or geometry to analysis, in a fresh and surprising way. What then do these categories signify? Algebra is the mathematics that arises from the ancient experiences of addition and multiplication of whole numbers; it deals with the finite and discrete. Geometry is the mathematics that grows out of spatial experience; it is concerned with shape and form, and with measur­ ing, where algebra deals with counting.