Mathématiques : Tout-en-un por la licence. Niveau L1, Cours complet et 270 exercices corrigés

Préface......Page 5
Table des matières......Page 7
AVANT-PROPOS......Page 19
I Notations et vocabulaire......Page 21
MODULE 1.1 FONDEMENTS......Page 22
1.1 Appartenance, éléments......Page 23
1.2 Définition en compréhension......Page 26
1.3 Constructeurs......Page 28
2.1 Applications et graphes......Page 32
2.2 Images et antécédents......Page 33
2.3 L\'ensemble F(E,F) des applications de E dans F......Page 39
3.1 Familles d\'éléments d\'un ensemble......Page 40
3.2 Familles d\'ensembles......Page 41
3.3 Familles de parties d\'un ensemble......Page 43
4.1 Vocabulaire général......Page 45
5 Relations......Page 49
5.1 Relations binaires sur un ensemble E......Page 50
5.2 Relations d\'équivalence......Page 53
5.3 Relations d\'ordre......Page 55
6.1 Induction......Page 59
6.2 Équipotence......Page 62
6.3 Cardinaux finis et infinis......Page 65
7 Rudiments de logique......Page 67
7.1 Logique propositionnelle......Page 68
7.2 Prédicats et quantificateurs......Page 71
7.3 Théorèmes et démonstrations......Page 74
EXERCICES......Page 77
II Algèbre......Page 83
MODULE 11.1 ARITHMÉTIQUE......Page 84
1 Ensemble des entiers naturels......Page 85
1.2 Récurrence......Page 86
1.3 Addition et multiplication des entiers naturels......Page 90
2.1 Ensembles finis, ensembles dénombrables......Page 94
2.2 Analyse combinatoire......Page 100
3.1 Division euclidienne. Numération......Page 105
3.2 Nombres premiers. Factorisation des entiers......Page 107
3.3 Plus grand commun diviseur, algorithme d\'Euclide......Page 112
4.1 Opérations sur les entiers relatifs......Page 116
4.2 Sous-groupes de Z. Divisibilité dans Z......Page 120
5 Nombres rationnels......Page 125
EXERCICES......Page 131
MODULE 11.2 GROUPES, ANNEAUX, CORPS......Page 137
1 Lois de composition internes......Page 138
2.1 Définitions, règles de calcul......Page 145
2.2 Sous-groupes, morphismes de groupes......Page 147
2.3 Groupe symétrique......Page 153
2.4 Groupe additif des entiers modulo n......Page 157
3.1 Définitions, règles de calcul......Page 160
3.2 Sous-anneaux, idéaux, morphismes......Page 165
3.3 Divisibilité dans un anneau intègre......Page 171
3.4 Anneau des entiers modulo n......Page 173
4 Corps......Page 178
EXERCICES......Page 182
MODULE 11.3 ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES......Page 189
1.1 La structure d\'espace vectoriel......Page 190
1.2 Combinaisons linéaires......Page 193
1.3 Sous-espaces vectoriels......Page 197
2.1 Vocabulaire et exemples......Page 201
2.2 Noyau et image......Page 206
2.3 Quelques applications linéaires particulières......Page 210
2.4 Espaces d\'applications linéaires......Page 213
3.1 Familles génératrices......Page 215
3.2 Familles libres......Page 218
3.3 Bases......Page 222
3.4 Dimension finie......Page 226
4.1 Somme directe de deux sous-espaces vectoriels......Page 227
4.2 Projections......Page 229
EXERCICES......Page 233
1.1 Définitions et généralités......Page 239
1.2 Matrices carrées......Page 249
1.3 Matrices et applications linéaires......Page 255
2 Opérations élémentaires et algorithmes de Gauss......Page 259
2.1 Opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes d\'une matrice......Page 260
2.2 Algorithmes de Gauss : lignes seules......Page 264
2.3 Algorithmes de Gauss : lignes et colonnes......Page 267
EXERCICES......Page 271
MODULE 11.5 LE CORPS C DES NOMBRES COMPLEXES......Page 274
1.1 Approche axiomatique......Page 275
1.2 Construction effective de C......Page 276
2 Règles élémentaires de calcul......Page 278
2.1 Représentation cartésienne......Page 279
2.2 Le plan d\'Argand-Cauchy......Page 281
2.3 Conjugaison......Page 282
2.4 Module......Page 284
2.5 Racines carrées......Page 287
3.1 Le groupe des nombres complexes de module 1......Page 291
3.2 Racines de l\'unité......Page 293
3.3 Arguments d\'un nombre complexe......Page 297
3.4 Racines nemes des nombres complexes......Page 299
3.5 Applications à la trigonométrie......Page 301
4.1 Similitudes planes......Page 303
4.2 Angles de vecteurs et angles de droites......Page 304
4.3 Constructions à la règle et au compas......Page 306
5.1 Rappels sur la convergence dans C......Page 307
5.2 L\'exponentielle complexe......Page 308
5.3 Le théorème de d\'Alembert-Gauss......Page 310
EXERCICES......Page 312
MODULE II.6 POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES......Page 316
1.1 Construction et axiomes......Page 317
1.2 Règles élémentaires de calcul......Page 319
1.3 Propriétés arithmétiques des polynômes......Page 327
1.4 Fonctions polynomiales et racines d\'un polynôme......Page 333
1.5 Polynômes dérivés......Page 339
2 Polynômes sur les corps R et C......Page 343
2.1 Applications du théorème de d\'Alembert-Gauss......Page 344
2.2 Cyclotomie......Page 345
2.3 Polynômes de Tchebychef......Page 348
2.4 Nombres algébriques......Page 350
3.1 Le corps K(X) des fractions rationnelles......Page 353
3.2 Propriétés arithmétiques de K(X)......Page 356
3.3 Fonctions rationnelles......Page 360
3.4 Développements limités......Page 362
EXERCICES......Page 363
MODULE II.7 ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE......Page 369
1.1 Définition de la dimension......Page 370
1.2 Applications linéaires en dimension finie......Page 377
2.1 Écriture matricielle d\'une application linéaire......Page 381
2.2 Changements de bases......Page 388
3 Déterminants......Page 391
3.1 Déterminant d\'une matrice carrée......Page 392
3.2 Mineurs d\'une matrice......Page 398
3.3 Déterminant d\'un endomorphisme......Page 405
3.4 Valeurs propres et vecteurs propres......Page 410
4.1 Équations linéaires......Page 417
4.2 Systèmes linéaires......Page 419
EXERCICES......Page 426
MODULE II.8 INITIATION À L\'ALGORITHMIQUE ET AU CALCUL FORMEL......Page 434
1 Exemple introductif : l\'addition en base b......Page 435
1.1 L\'algorithme d\'addition......Page 436
1.2 Analyse de l\'algorithme d\'addition......Page 442
2.1 Langage algorithmique simplifié......Page 444
2.2 Des mathématiques aux algorithmes......Page 448
2.3 Un exemple détaillé : l\'algorithme d\'Euclide......Page 452
3 Quelques exemples fondamentaux......Page 454
3.1 L\'exponentiation dichotomique......Page 455
3.2 Tris et permutations......Page 457
3.3 Polynômes......Page 462
EXERCICES......Page 466
III Géométrie......Page 469
MODULE III.1 GÉOMÉTRIE DANS LES ESPACES AFFINES......Page 470
1.1 Structure d\'espace affine......Page 471
1.2 Barycentres......Page 473
1.3 Sous-espaces affines......Page 475
1.4 Applications affines......Page 477
2.1 Hyperplans......Page 482
2.2 Repère......Page 485
2.3 Systèmes d\'équations......Page 486
3.1 Droites de R2......Page 488
3.2 Plans de R3......Page 492
3.3 Droites de R3......Page 496
3.4 Géométrie euclidienne dans R2 et R3......Page 499
4 Les coniques......Page 504
4.1 Cercles......Page 505
4.2 Coniques......Page 506
4.3 Équations de degré 2......Page 511
EXERCICES......Page 515
MODULE 111.2 COURBES PARAMÉTRÉES......Page 519
1.1 Notion de courbe paramétrée......Page 520
1.2 Étude locale......Page 522
1.3 Deux exemples......Page 531
2.1 Définition......Page 536
2.2 Tangente......Page 537
2.3 Branches infinies......Page 538
3.1 Longueur d\'une courbe......Page 539
3.2 Paramétrage normal......Page 541
3.3 Courbure......Page 544
3.4 Théorème fondamental......Page 549
4.1 Tangente et plan osculateur......Page 552
4.2 Courbure, torsion......Page 555
EXERCICES......Page 557
IV Analyse......Page 563
MODULE IV.1 NOMBRES RÉELS, SUITES NUMÉRIQUES......Page 564
1 Bornes inférieures et supérieures......Page 565
2 Développement décimal......Page 567
3 Définition des nombres réels ; relation d\'ordre......Page 569
4.1 Bornes supérieures et bornes inférieures......Page 572
4.2 Intervalles......Page 575
5 Opérations sur les réels......Page 576
6 Suites numériques, introduction......Page 579
6.1 Suites bornées et opérations......Page 580
6.2 Suites arithmétiques......Page 581
6.3 Suites géométriques......Page 582
7 Convergence des suites......Page 584
7.1 Suite positive tendant vers zéro......Page 586
7.2 Limites des suites......Page 588
7.4 Conservation......Page 590
7.5 Exemples......Page 591
8 Opérations sur les limites......Page 592
9.1 Comparaison de suites......Page 595
9.2 Suites monotones......Page 596
9.3 Suites adjacentes......Page 597
9.4 Suites bornées......Page 598
9.5 Limites infinies......Page 599
EXERCICES......Page 603
MODULE IV.2 FONCTIONS RÉELLES......Page 607
1.1 Limite d\'une fonction......Page 608
1.2 Continuité......Page 609
1.3 Opérations sur les fonctions continues......Page 612
1.4 Théorème des valeurs intermédiaires......Page 613
1.5 Image continue d\'un intervalle......Page 614
1.6 Le théorème des bornes......Page 615
2 Dérivabilité......Page 616
2.1 Opérations sur les dérivées......Page 618
2.2 Dérivées d\'ordre n......Page 620
2.3 Sens de variation et extrema......Page 621
2.4 Théorème de Rolle, accroissements finis......Page 622
3.1 Continuité de la réciproque......Page 625
3.2 Dérivée de la réciproque......Page 626
4 Étude d\'une fonction......Page 627
4.2 Branches infinies......Page 628
EXERCICES......Page 630
MODULE IV.3 FONCTIONS TRANSCENDANTES......Page 634
1 L\'exponentielle......Page 635
2 Exponentielle réelle......Page 639
3 Logarithme......Page 643
4 Fonctions trigonométriques......Page 644
5 Fonctions tangente et arc-tangente......Page 649
6 Arc-sinus et arc-cosinus......Page 651
7 Trigonométrie hyperbolique......Page 653
8 Réciproques des fonctions hyperboliques......Page 656
9 Résumé des dérivées des fonctions usuelles......Page 659
EXERCICES......Page 660
MODULE IV.4 SÉRIES NUMÉRIQUES......Page 663
1.1 Définitions......Page 664
1.2 Premiers résultats......Page 668
2 Séries à termes réels positifs......Page 671
3 Séries alternées......Page 681
EXERCICES......Page 684
1 Aires et sommes de Riemann......Page 689
2 Continuité et intégrabilité......Page 692
2.1 Propriétés élémentaires......Page 693
2.2 La relation de Chasles......Page 695
2.3 Comparaison d\'intégrales et moyenne......Page 696
2.4 Signification géométrique de l\'intégrale......Page 699
3.1 Le théorème fondamental de l\'analyse......Page 700
3.2 Table des primitives de fonctions élémentaires......Page 702
4.1 Intégration par parties......Page 703
4.2 Changement de variables......Page 705
4.3 Quel changement de variable choisir ?......Page 708
4.4 Intégration des fractions rationnelles......Page 713
EXERCICES......Page 716
1 Suites vectorielles......Page 720
1.1 Distance entre deux vecteurs......Page 721
1.2 Convergence de suites......Page 724
1.3 Suites vectorielles définies par une récurrence linéaire......Page 726
1.4 Suites réelles définies par une récurrence d\'ordre 2......Page 729
2.1 Continuité......Page 731
2.2 Dérivabilité......Page 733
2.3 Opérations sur les dérivées......Page 734
2.4 Inégalité des accroissements finis......Page 736
2.5 Intégration......Page 738
3 Équations différentielles linéaires......Page 740
3.1 Équations scalaires d\'ordre 1......Page 741
3.2 Équations vectorielles d\'ordre 1......Page 745
3.3 Allure des solutions d\'une équation homogène en dimension 2......Page 750
3.4 Équations différentielles d\'ordre 2 à coefficients constants......Page 755
EXERCICES......Page 760
MODULE IV.7 PREMIÈRE INITIATION AUX FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES......Page 764
1.1 Ouverts, fermés et compacts......Page 766
1.2 Fonctions continues......Page 769
1.3 Théorème des bornes......Page 770
1.4 Norme d\'une application linéaire......Page 771
2.1 Dérivées partielles......Page 772
2.2 Dérivée suivant un vecteur......Page 774
2.3 Différentielle......Page 775
2.4 Matrice Jacobienne......Page 776
3.1 Opérations élémentaires......Page 778
3.2 Différentielle d\'une application composée......Page 781
3.3 Applications continûment différentiables......Page 784
3.4 Théorème des accroissements finis......Page 786
4.1 Plan tangent au graphe d\'une fonction f : R2->R......Page 788
4.2 Dérivation sur C......Page 793
EXERCICES......Page 797
1 Introduction......Page 801
2 Formules de Taylor......Page 803
4 Équivalents et notations de Landau......Page 806
4.1 Équivalents......Page 807
4.2 Notations de Landau......Page 811
5 Développements limités......Page 814
5.1 Détermination d\'un développement limité......Page 816
5.2 Opérations sur les développements limités......Page 817
5.3 Développement limité à l\'infini......Page 825
EXERCICES......Page 827
V Probabilités statistiques......Page 833
MODULE V.1 STATISTIQUE ÉLÉMENTAIRE ET PROBABILITÉS FINIES......Page 834
1.1 Données statistiques......Page 835
1.2 Représentation des données......Page 837
2.1 Mesures de tendance centrale......Page 842
2.2 Mesures de dispersion......Page 845
3 Statistique descriptive bivariée......Page 848
3.1 Ajustement linéaire par moindre carrés......Page 850
3.2 Covariance et corrélation......Page 852
3.3 Corrélation et régression......Page 853
4.1 Expériences aléatoires, événements......Page 855
4.2 Espace de probabilité fini......Page 858
5.1 Généralités sur le dénombrement......Page 862
5.2 Dénombrements classiques......Page 864
5.3 Dénombrement appliqué au loto......Page 866
6.1 Probabilité conditionnelle......Page 868
6.2 Probabilités composées, formule des probabilités totales......Page 869
6.3 Formule de Bayes......Page 872
6.4 Indépendance de deux événements......Page 873
6.5 Indépendance de familles d\'événements......Page 876
EXERCICES......Page 878
INDEX......Page 882