Maß und Kategorie

این کتاب به دو موضوع اصلی می پردازد: قضیه مقوله بایر به عنوان ابزاری برای اثبات وجود، و «دوگانگی» بین اندازه و مقوله. روش دسته بندی از طریق بسیاری از کاربردهای معمولی نشان داده شده است. قیاسی که بین اندازه و مقوله وجود دارد در متنوع ترین جهات با دقت بیشتری بررسی می شود. خواننده مقدمه ای کوتاه با مبانی توپولوژی متریک پیدا خواهد کرد. علاوه بر این، ویژگی های اساسی اندازه گیری Lebesgue مشتق شده است. به نظر می رسد که نظریه ادغام لبگ برای اهداف ما مورد نیاز نیست، اما انتگرال ریمان کافی است. علاوه بر این، برخی از اصطلاحات از نظریه اندازه گیری عمومی و توپولوژی معرفی شده است. با این حال، این کار صرفاً به خاطر عمومیت بیشتر انجام نمی شود. نیازی به گفتن نیست که اصطلاح \"رده\" همیشه به \"رده Bairean\" اشاره دارد. ربطی به مفهوم مقوله به کار رفته در جبر همسانی ندارد. تنها چیزی که خواننده مورد نیاز است، دانش اولیه تحلیل و آشنایی خاصی با نظریه مجموعه هاست. فرمول نظری مجموعه‌ها طبیعتاً خود را به مشکلاتی که در اینجا بررسی می‌شوند، می‌رساند. این کتاب به عنوان مقدمه ای برای این حوزه از تجزیه و تحلیل در نظر گرفته شده است. این می تواند به عنوان مکملی برای دوره معمولی پایه در مورد تجزیه و تحلیل واقعی، به عنوان پایه ای برای یک سمینار، یا برای مطالعه مستقل استفاده شود. این کتاب در درجه اول یک خلاصه است. با این حال، همچنین شامل برخی اصلاحات از نتایج شناخته شده، یعنی قضیه 15.6 و گزاره 20.4 است. کتابشناسی ادعا نمی کند که کامل است. آثاری که حاوی ارجاعات بیشتری هستند اغلب ذکر می شوند.

Dieses Buch behandelt hauptsächlich zwei Themenkreise: Der Bairesche Kategorie-Satz als Hilfsmittel für Existenzbeweise sowie Die "Dualität" zwischen Maß und Kategorie. Die Kategorie-Methode wird durch viele typische Anwendungen erläutert; die Analogie, die zwischen Maß und Kategorie besteht, wird nach den verschiedensten Richtungen hin genauer untersucht. Hierzu findet der Leser eine kurze Einführung in die Grundlagen der metrischen Topologie; außerdem werden grundlegende Eigenschaften des Lebesgue­ schen Maßes hergeleitet. Es zeigt sich, daß die Lebesguesche Integrationstheorie für unsere Zwecke nicht erforderlich ist, sondern daß das Riemannsche Integral ausreicht. Weiter werden einige Begriffe aus der allgemeinen Maßtheorie und Topologie eingeführt; dies geschieht jedoch nicht nur der größeren Allgemeinheit wegen. Es erübrigt sich fast zu erwähnen, daß sich die Bezeichnung "Kategorie" stets auf "Bairesche Kategorie" be­ zieht; sie hat nichts zu tun mit dem in der homologischen Algebra verwendeten Begriff der Kategorie. Beim Leser werden lediglich grundlegende Kenntnisse aus der Analysis und eine gewisse Vertrautheit mit der Mengenlehre vorausgesetzt. Für die hier untersuchten Probleme bietet sich in natürlicher Weise die mengentheoretische Formulierung an. Das vorlie­ gende Buch ist als Einführung in dieses Gebiet der Analysis gedacht. Man könnte es als Ergänzung zur üblichen Grundvorlesung über reelle Analysis, als Grundlage für ein Se­ minar oder auch zum selbständigen Studium verwenden. Bei diesem Buch handelt es sich vorwiegend um eine zusammenfassende Darstellung; jedoch finden sich in ihm auch einige Verfeinerungen bekannter Resultate, namentlich Satz 15.6 und Aussage 20.4. Das Literaturverzeichnis erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Häufig werden Werke zitiert, die weitere Literaturangaben enthalten.