Mass und Zahl im Kunstwerk

بنابراین، دو بررسی اول را می‌توان روی زیور نباتی و هندسی انجام داد، در حالی که سومی، از طرف دیگر، فقط در مورد زیور هندسی امکان‌پذیر است، زیرا اشکال جزئی زینت گیاهی به صورت ریاضی ساخته نشده‌اند. دو ملاحظۀ اول را تنها با ملاحظات نظری گروهی می توان به طور معناداری انجام داد. حداقل اصول مفهوم گروه باید شناخته شود. با این حال، در اینجا باید از بررسی دقیق گروه صرف نظر کرد، زیرا این گروه به رشته ریاضیات عالی تعلق دارد. فرضیه ها: 1. سیستمی از عناصر A, B, C, D, . .. گروهی را تشکیل می دهد اگر ترکیب معینی از دو عنصر همیشه منجر به یک عنصر از سیستم شود، یا، شاید واضح تر، اگر یک جفت مرتب از این عناصر همیشه با عنصری از سیستم همراه باشد، که حاصلضرب نامیده می شود. دو عنصر (AB = Cl (مثال: A = چرخش 900، B = چرخش 1800، C = چرخش 2700.) 2. معادله (AB)C = A (BC) برقرار است، اما لزوماً AB = BA این ادعاها را بیان نمی کند. با کلمات 3. در هر گروه یک عنصر واحد وجود دارد که موارد زیر برای آن اعمال می شود: A E =E A = A (به مثال 1 مراجعه کنید.: E = چرخش 3600) 4. برای هر عنصر A یک عنصر معکوس A-1 وجود دارد. , برای این AA-l = E اعمال می شود (نمونه از 1 را ببینید: A-l = Cl. تعاریف: 1. تعداد عناصر در یک گروه محدود را ترتیب گروه می گویند.

Die beiden ersten Untersuchungen können also am vegetabilischen und geometrischen Ornament vorgenommen werden, die dritte hingegen ist nur am geometrischen Ornament möglich, da die Teilformen des vegetabilischen Ornaments nicht mathematisch konstruiert sind. Die beiden ersten Be­ trachtungen können nur mit gruppentheoretischen Erwägungen sinnvoll durchgeführt werden. So müssen wenigstens die Postulate des Gruppen­ begriffs bekannt sein. Auf eine eingehende Untersuchung der Gruppe muß allerdings hier verzichtet werden, da sie in das Gebiet der höheren Mathe­ matik gehört. Postulate: 1. Ein System von Elementen A, B, C, D, . .. bildet eine Gruppe, wenn eine bestimmte Zusammensetzung zweier Elemente immer ein Element des Systems ergibt, oder, vielleicht klarer, wenn einem geordneten Paar von diesen Elementen immer ein Element des Systems zugeordnet ist, das man das Produkt der beiden Elemente nennt (AB = Cl. (Beispiel: A = Drehung um 900, B = Drehung um 1800, C = Drehung um 2700.) 2. Es gilt die Gleichung (AB)C = A (BC), aber nicht unbedingt AB = BA. Drücke diese Forderungen mit Worten aus. 3. Es gibt in jeder Gruppe einEinheitselement, für das gilt: A E =E A = A (s. Beispiel aus 1.: E = Drehung um 3600). 4. Es gibt zu jedem Element A ein inverses Element A-l, für das gilt AA-l = E (s. Beispiel aus 1.: A-l = Cl. Definitionen: 1. Die Anzahl der Elemente einer endlichen Gruppe nennt man die Ordnung der Gruppe.