Markov Processes: Volume 1

تئوری مدرن فرآیندهای مارکوف منشأ خود را در مطالعات A. A. MARKOV (1906-1907) در مورد دنباله‌ای از آزمایش‌های "متصل در یک زنجیره" و در تلاش برای توصیف ریاضی پدیده فیزیکی معروف به حرکت براونی (براونی) است. L. BACHELLER 1900، A. EIN STEIN 1905). اولین ساخت صحیح ریاضی از فرآیند مارکوف با مسیرهای پیوسته توسط N. WIENER در سال 1923 ارائه شد. W. FELLER، W. DOEBLlN، P. LEVY، J. L. DOOB، و دیگران. در طول ده سال گذشته نظریه فرآیندهای مارکوف وارد دوره جدیدی از توسعه فشرده شده است. روش‌های تئوری نیمه گروه‌های عملگرهای خطی، پیشرفت بیشتری را در طبقه‌بندی فرآیندهای مارکوف با ویژگی‌های بی‌نهایت کوچکشان ممکن کرد. طبقات گسترده فرآیندهای مارکوف با مسیرهای پیوسته موضوع اصلی مطالعه بودند. ارتباط بین فرآیندهای مارکوف و تحلیل کلاسیک بیشتر توسعه یافت. نه تنها به کار بردن نتایج و روش های تحلیل برای مسائل نظریه احتمال، بلکه امکان بررسی مسائل تحلیلی با استفاده از روش های احتمالی نیز فراهم شده است. ارتباطات جدید قابل توجهی بین فرآیندهای مارکوف و نظریه پتانسیل آشکار شد. مبانی این نظریه به طور انتقادی بررسی شد: مفهوم جدید فرآیند قوی مارکوف برای کل نظریه فرآیندهای مارکوف اهمیت زیادی پیدا کرد.

The modem theory of Markov processes has its origins in the studies of A. A. MARKOV (1906-1907) on sequences of experiments "connected in a chain" and in the attempts to describe mathematically the physical phenomenon known as Brownian motion (L. BACHELlER 1900, A. EIN­ STEIN 1905). The first correct mathematical construction of a Markov process with continuous trajectories was given by N. WIENER in 1923. (This process is often called the Wiener process.) The general theory of Markov processes was developed in the 1930's and 1940's by A. N. KOL­ MOGOROV, W. FELLER, W. DOEBLlN, P. LEVY, J. L. DOOB, and others. During the past ten years the theory of Markov processes has entered a new period of intensive development. The methods of the theory of semigroups of linear operators made possible further progress in the classification of Markov processes by their infinitesimal characteristics. The broad classes of Markov processes with continuous trajectories be­ came the main object of study. The connections between Markov pro­ cesses and classical analysis were further developed. It has become possible not only to apply the results and methods of analysis to the problems of probability theory, but also to investigate analytic problems using probabilistic methods. Remarkable new connections between Markov processes and potential theory were revealed. The foundations of the theory were reviewed critically: the new concept of strong Markov process acquired for the whole theory of Markov processes great importance.