Markov Chain Models — Rarity and Exponentiality

در توزیع‌های زمان شکست برای سیستم‌های مدل‌سازی شده با زنجیره‌های محدود. در این فصل مقدماتی سعی شده است تا یک نمای کلی از مطالب و ایده های تحت پوشش ارائه شود. ارائه آزاد و پراکنده است و در ابتدا باید به آرامی خوانده شود. مطالعه بعدی گاه به گاه ممکن است به چسباندن ماتریال به یکدیگر کمک کند و وحدتی را فراهم کند که در غیر این صورت به راحتی قابل دستیابی نیست. ارائه مفصل در فصل 1 آغاز می شود و برخی از خوانندگان ممکن است ترجیح دهند مستقیماً از آنجا شروع کنند. §O.l. برگشت پذیری زمان و بازنمایی طیفی. زنجیره‌های زمانی پیوسته را می‌توان بر حسب زنجیره‌های زمانی گسسته با یک روش یکنواخت (§2.l) مورد بحث قرار داد که تئوری را ساده و یکسان می‌کند و نتایج را برای زمان گسسته و پیوسته امکان می‌دهد تا به طور همزمان مورد بحث قرار گیرند. بنابراین اگر N(t) هر زنجیره مارکوف محدودی در زمان پیوسته باشد که توسط نرخ های انتقال کنترل می شود vmn می توان برای حیوان خانگی نوشت) = [Pmn(t)] • P[N(t) = n I N(O) = m] pet) = exp [-vt(I - a )] (0.1.1) v که در آن v > حداکثر r v ' و mn m n قانون ~ 1 - v-I * بنابراین N(t) جایی که r vmn Nk = NK(t) n K اداره می شود (t) یک فرآیند پواسونی از نرخ v است که توسط یک 'و v dent N • k برگشت پذیری زمانی (§1.3، §2.4، §2.S) به دلایل زیادی مهم است. الف) تنها کلاس وسیع زنجیره‌های کششی مناسب برای مدل‌های تصادفی، کلاس برگشت‌پذیر زمان است.

in failure time distributions for systems modeled by finite chains. This introductory chapter attempts to provide an over­ view of the material and ideas covered. The presentation is loose and fragmentary, and should be read lightly initially. Subsequent perusal from time to time may help tie the mat­ erial together and provide a unity less readily obtainable otherwise. The detailed presentation begins in Chapter 1, and some readers may prefer to begin there directly. §O.l. Time-Reversibility and Spectral Representation. Continuous time chains may be discussed in terms of discrete time chains by a uniformizing procedure (§2.l) that simplifies and unifies the theory and enables results for discrete and continuous time to be discussed simultaneously. Thus if N(t) is any finite Markov chain in continuous time governed by transition rates vmn one may write for pet) = [Pmn(t)] • P[N(t) = n I N(O) = m] pet) = exp [-vt(I - a )] (0.1.1) v where v > Max r v ' and mn m n law ~ 1 - v-I * Hence N(t) where is governed r vmn Nk = NK(t) n K(t) is a Poisson process of rate v indep- by a ' and v dent of N • k Time-reversibility (§1.3, §2.4, §2.S) is important for many reasons. A) The only broad class of tractable chains suitable for stochastic models is the time-reversible class.