Markets with Transaction Costs: Mathematical Theory

مفهوم اصلی ریاضی در تئوری بازارهای بدون اصطکاک یک معیار مارتینگل است. در این مقاله، اولین تک نگاری که به نظریه بازارهای مالی با هزینه های مبادله اختصاص دارد، نویسندگان استدلال می کنند که برای بازارهای مالی با هزینه های مبادله متناسب، این مفهوم باید با سیستم قیمت ثابت جایگزین شود، که یک مارتینگل در حال تکامل در دوگانه به مخروط های پرداخت بدهی. سه موضوع اصلی در نظر گرفته شده است:

1. رویکرد لیلاند برای پوشش خسارت احتمالی بر اساس تکرار تقریبی.

2. نظریه آربیتراژ برای بازارهایی با هزینه های مبادله متناسب بر اساس رویکرد هندسی.

3. مسئله مصرف-سرمایه گذاری با استفاده از راه حل های ویسکوزیته معادله همیلتون-جاکوبی-بلمن تجزیه و تحلیل شد.

قسمت اول شامل یافته های اخیر در مورد خطاهای پوششی و قضایای حد برای استراتژی های نوع Leland است. تجزیه و تحلیل دقیق ریاضی ارائه شده در این کتاب به عنوان بستری برای مطالعات بیشتر طراحی شده است.

بخش دوم شامل فصلی در مورد نظریه آربیتراژ برای بازارهای بدون اصطکاک در زمان گسسته است. این به عنوان مقدمه ای بر تئوری بازارها با هزینه های مبادله ارائه شده است، اما می تواند به طور مستقل نیز خوانده شود. موضوعات اصلی بخش دوم معیارهای بدون آربیتراژ و قضایای پوششی برای گزینه های اروپایی و آمریکایی تحت هزینه های معامله است. برخلاف نظریه کلاسیک، فرآیندهای ارزش بردار هستند و مفهوم معیار مارتینگل با مفهوم سیستم قیمت سازگار جایگزین می‌شود. قضایای پوششی توصیفی دوگانه از مجموعه وقف های اولیه مورد نیاز برای تکرار فوق العاده ادعاهای احتمالی را ارائه می دهد. این توصیفات در قالب سیستم های قیمت ثابت بیان می شوند. این جلد مطالعه دقیقی از پدیده‌های جدید مختلف را ارائه می‌دهد که در حضور اصطکاک بازار در زمان گسسته و پیوسته به وجود می‌آیند. ریاضیات مورد نیاز ترکیبی از ایده ها از هندسه ابعاد محدود، تحلیل تابعی هندسی و نظریه کلی فرآیندهای تصادفی است.

بخش سوم به کنترل بهینه پورتفولیوها در حضور اصطکاک بازار با استفاده از رویکرد هندسی در بخش دوم توسعه یافت. این شامل مطالعه راه حل های ویسکوزیته یک معادله HJB چند بعدی است. توجه ویژه به مدل دو دارایی، که ساختار کنترل بهینه برای آن، همراه با یافته‌های مربوط به رفتار مجانبی راه‌حل‌ها برای از بین رفتن هزینه‌های تراکنش توضیح داده شده است.

پیوست جعبه ابزاری حاوی نتایج کمکی را ارائه می‌کند. از شاخه های مختلف ریاضی که در کتاب استفاده شده است.

The central mathematical concept in the theory of frictionless markets is a martingale measure. In this, the first monograph devoted to the theory of financial markets with transaction costs, the authors argue that, for financial markets with proportional transaction costs, this concept should be replaced by that of the consistent price system, which is a martingale evolving in the duals to the solvency cones. Three main subjects are considered:

1. The Leland approach to the hedging of contingent claims based on approximate replication.

2. Arbitrage theory for markets with proportional transaction costs based on a geometric approach.

3. The consumption-investment problem analyzed using viscosity solutions of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation.

The first part contains recent findings on hedging errors and limit theorems for Leland-type strategies. The rigorous mathematical analysis presented in the book is designed to serve as a platform for further studies.

The second part includes a chapter on the arbitrage theory for frictionless markets in discrete time. It is presented as an introduction to the theory of markets with transaction costs, but can also be read independently. The main subjects of the second part are no-arbitrage criteria and hedging theorems for European and American options under transaction costs. In contrast to the classical theory, the value processes are vector-valued and the concept of the martingale measure is replaced by the concept of the consistent price system. Hedging theorems give dual descriptions of the set of initial endowments needed to super-replicate contingent claims. These descriptions are expressed in terms of consistent price systems. This volume provides a detailed study of various new phenomena arising in the presence of market friction in discrete and continuous time. The mathematics needed is a synthesis of ideas from finite-dimensional geometry, geometric functional analysis, and general theory of stochastic processes.

The third part deals with the optimal control of portfolios in the presence of market friction using the geometric approach developed in the second part. It contains a study of viscosity solutions of a multidimensional HJB equation. Special attention is paid to the two-asset model, for which the structure of optimal control is described, together with findings on the asymptotic behavior of solutions for vanishing transaction costs.

The appendix provides a toolbox containing auxiliary results from various branches of mathematics used in the book.