L² Approaches in Several Complex Variables: Towards the Oka–Cartan Theory with Precise Bounds

این تک نگاری وضعیت فعلی بخشی از چندین متغیر پیچیده را که به سرعت در حال توسعه است، با انگیزه کاربرد نتایج مؤثر در هندسه جبری و هندسه دیفرانسیل ارائه می دهد. تاکید ویژه ای بر نتایج دقیق جدید در زمینه گسترش L² توابع هولومورفیک در 5 سال گذشته شده است. در فصل 1، سوالات کلاسیک چندین متغیر پیچیده که انگیزه توسعه این زمینه را فراهم می کنند، پس از لزوم بررسی می شوند. آماده‌سازی از مفاهیم اولیه آن متغیرها و منیفولدهای پیچیده مانند توابع هولومورفیک، شبه تحدب، اشکال دیفرانسیل و هم‌شناسی. در فصل 2، روش L² برای حل معادله d-bar با تاکید بر جنبه هندسی دیفرانسیل آن ارائه شده است. در فصل 3، اصلاحی از نظریه اوکا-کارتان با این روش ارائه شده است. قضیه بسط L² با ثابت بهینه گنجانده شده است که اخیراً توسط Z. Błocki و به طور جداگانه توسط Q.-A بدست آمده است. Guan و X.-Y. ژو. در فصل 4، نتایج مختلفی در مورد هسته برگمن ارائه شده است، از جمله کارهای اخیر Maitani-Yamaguchi، Berndtsson، Guan-Zhou، و Berndtsson-Lempert. اکثر این نتایج با روش L² به دست می آیند. در فصل آخر، نتایج نسبتاً مشخصی در مورد وجود و طبقه‌بندی برخی شاخ و برگ‌های هولومورفیک و ابرسطح‌های مسطح Levi به عنوان مجموعه پایدار آنها بحث شده است. اینها همچنین کاربردهای روش L² هستند که در 15 سال گذشته به دست آمده است.

This monograph presents the current status of a rapidly developing part of several complex variables, motivated by the applicability of effective results to algebraic geometry and differential geometry. Special emphasis is put on the new precise results on the L² extension of holomorphic functions in the past 5 years.In Chapter 1, the classical questions of several complex variables motivating the development of this field are reviewed after necessary preparations from the basic notions of those variables and of complex manifolds such as holomorphic functions, pseudoconvexity, differential forms, and cohomology. In Chapter 2, the L² method of solving the d-bar equation is presented emphasizing its differential geometric aspect. In Chapter 3, a refinement of the Oka–Cartan theory is given by this method. The L² extension theorem with an optimal constant is included, obtained recently by Z. Błocki and separately by Q.-A. Guan and X.-Y. Zhou. In Chapter 4, various results on the Bergman kernel are presented, including recent works of Maitani–Yamaguchi, Berndtsson, Guan–Zhou, and Berndtsson–Lempert. Most of these results are obtained by the L² method. In the last chapter, rather specific results are discussed on the existence and classification of certain holomorphic foliations and Levi flat hypersurfaces as their stables sets. These are also applications of the L² method obtained during the past 15 years.