Lyapunov-type Inequalities: With Applications to Eigenvalue Problems

​مسائل مقدار ویژه برای عملگرهای شبه خطی و غیرخطی تفاوت‌های زیادی با حالت خطی نشان می‌دهند، و یک نابرابری لیاپانوف برای سیستم‌های تشدید شبه خطی وجود مجانبی ارزش ویژه را نشان می‌دهد که توسط جفت شدن معادلات به جای ترتیب معادلات هدایت می‌شوند. برای p=2، جفت شدن و ترتیب معادلات یکسان است، بنابراین در مسائل خطی این اتفاق نمی افتد. یکی دیگر از تفاوت های قابل توجه بین عملگرهای دیفرانسیل مرتبه دوم خطی و شبه خطی وجود نابرابری های نوع لیاپانوف در R^n زمانی که p>n است. از آنجایی که حالت خطی با p=2 مطابقت دارد، برای لاپلاسی معمولی یک نابرابری لیاپانوف فقط برای مسائل یک بعدی وجود دارد. برای مسائل مرتبه بالاتر خطی، چندین نابرابری از نوع لیاپانوف توسط اگوروف و کوندراتیف پیدا شد و در نظریه طیفی عملگرهای بیضوی، Birkhauser Basel 1996 جمع آوری شد. عملگر دیفرانسیل، فضای Sobolev که در آن اپراتور تعریف شده است، و هنجار وزن ظاهر شده در نابرابری که به طور کامل توسعه نیافته است. همچنین، نابرابری لیاپانوف برای معادلات دیفرانسیل در فضاهای Orlicz را می توان برای توسعه یک نظریه نوسان، دور زدن نظریه کلاسیک استورمین که هنوز برای آن معادلات شناخته شده نیست، استفاده کرد. برای عملگرهای عمومی تر، مانند لاپلاسین p(x)، امکان وجود نابرابری های نوع لیاپانوف ناشناخته باقی می ماند.

​The eigenvalue problems for quasilinear and nonlinear operators present many differences with the linear case, and a Lyapunov inequality for quasilinear resonant systems showed the existence of eigenvalue asymptotics driven by the coupling of the equations instead of the order of the equations. For p=2, the coupling and the order of the equations are the same, so this cannot happen in linear problems. Another striking difference between linear and quasilinear second order differential operators is the existence of Lyapunov-type inequalities in R^n when p>n. Since the linear case corresponds to p=2, for the usual Laplacian there exists a Lyapunov inequality only for one-dimensional problems. For linear higher order problems, several Lyapunov-type inequalities were found by Egorov and Kondratiev and collected in On spectral theory of elliptic operators, Birkhauser Basel 1996. However, there exists an interesting interplay between the dimension of the underlying space, the order of the differential operator, the Sobolev space where the operator is defined, and the norm of the weight appearing in the inequality which is not fully developed. Also, the Lyapunov inequality for differential equations in Orlicz spaces can be used to develop an oscillation theory, bypassing the classical sturmian theory which is not known yet for those equations. For more general operators, like the p(x) laplacian, the possibility of existence of Lyapunov-type inequalities remains unexplored. ​