List Decoding of Error-Correcting Codes: Winning Thesis of the 2002 ACM Doctoral Dissertation Competition

وقتی رسانه ارتباط خطاهایی را ایجاد می کند، چگونه می توان اطلاعات را به طور مؤثر تبادل کرد؟ این سوال با شروع کارهای اصلی شانون (1948) و هامینگ (1950) به طور گسترده مورد بررسی قرار گرفته است و به نظریه غنی "کدهای تصحیح خطا" منجر شده است. این نظریه به طور سنتی با تئوری الگوریتمی "رمزگشایی" که با مشکل بازیابی از خطاها به طور موثر مقابله می کند، همراه شده است. این پایان نامه نتایج جدید و دیدنی را در زمینه الگوریتم های رمزگشایی برای کدهای تصحیح خطا ارائه می دهد. به طور خاص، آن را نشان می دهد که مفهوم "لیست رمزگشایی" را می توان برای بازیابی خطاهای بسیار بیشتر، برای طیف گسترده ای از کدهای تصحیح خطا، نسبت به آنچه قبلاً قابل دستیابی بود، به کار برد. کمی پیش‌زمینه: کدهای تصحیح خطا، ساختارهای ترکیبی هستند که نحوه نمایش (یا «رمزگذاری») اطلاعات را نشان می‌دهند به طوری که - نسبت به تعداد متوسطی از خطاها بی‌صدا باشد. به طور خاص، یک کد تصحیح کننده خطا، یک رشته باینری کوتاه به نام پیام را می گیرد و نشان می دهد که چگونه آن را به یک رشته باینری طولانی تر به نام کلمه رمز تبدیل می کند، به طوری که اگر تعداد کمی از بیت های کلمه رمز ?i شود، رشته حاصل شبیه هیچ کد رمز دیگری نیست. حداکثر تعداد خطاهایی که کد تضمین شده است که شناسایی کند، با علامت d، یک پارامتر اصلی در طراحی آن است. یک ویژگی اساسی چنین کدی این است که اگر تعداد خطاهایی که رخ می دهد کمتر از d/2 شناخته شود، پیام به طور منحصر به فرد تعیین می شود. این یک مشکل محاسباتی به نام thedecodingproblem:computethemessagefroma codeword خراب می‌کند، زمانی که تعداد خطاها کمتر از d/2 باشد.

How can one exchange information e?ectively when the medium of com- nication introduces errors? This question has been investigated extensively starting with the seminal works of Shannon (1948) and Hamming (1950), and has led to the rich theory of “error-correcting codes”. This theory has traditionally gone hand in hand with the algorithmic theory of “decoding” that tackles the problem of recovering from the errors e?ciently. This thesis presents some spectacular new results in the area of decoding algorithms for error-correctingcodes. Speci?cally,itshowshowthenotionof“list-decoding” can be applied to recover from far more errors, for a wide variety of err- correcting codes, than achievable before. A brief bit of background: error-correcting codes are combinatorial str- tures that show how to represent (or “encode”) information so that it is - silient to a moderate number of errors. Speci?cally, an error-correcting code takes a short binary string, called the message, and shows how to transform it into a longer binary string, called the codeword, so that if a small number of bits of the codewordare ?ipped, the resulting string does not look like any other codeword. The maximum number of errorsthat the code is guaranteed to detect, denoted d, is a central parameter in its design. A basic property of such a code is that if the number of errors that occur is known to be smaller than d/2, the message is determined uniquely. This poses a computational problem,calledthedecodingproblem:computethemessagefromacorrupted codeword, when the number of errors is less than d/2.