Linear and Quasilinear Parabolic Problems: Volume I: Abstract Linear Theory

در این رساله ما رویکرد نیمه گروهی به معادله تکامل شبه خطی از نوع سهمی را ارائه می کنیم که در ده سال گذشته به طور تقریبی توسعه یافته است. این بر دیدگاه دینامیکی تأکید می کند و به اندازه کافی عمومی و انعطاف پذیر است تا طیف گسترده ای از سیستم های انضمامی معادلات دیفرانسیل جزئی را که در علم رخ می دهند، در بر گیرد، که برخی از آنها از نوع نسبتاً «غیر استاندارد» هستند. به طور خاص، تا به امروز این تنها روش عمومی است که برای سیستم های غیر اجباری اعمال می شود. اگرچه ما به مسائل غیرخطی علاقه مندیم، روش ما بر اساس نظریه نیمه گروه های هولومورف خطی است. این موضوع آن را از نظریه نیمه گروه های انقباض غیرخطی که مبنای آن نسخه غیرخطی قضیه هیله یوسیدا است، متمایز می کند: قضیه کراندال-لیگت. نظریه اخیر در ادبیات کاملاً شناخته شده و مستند است. اگرچه این یک تکنیک قدرتمند است که کاربردهای زیادی پیدا کرده است، اما به دلیل این واقعیت که در کاربردهای بتن، به اصل حداکثر گره خورده است، دامنه آن محدود است. بنابراین تئوری نیمه گروه های انقباض غیرخطی به طور کلی برای سیستم ها اعمال نمی شود، زیرا آنها برای یک اصل حداکثر اجازه نمی دهند. به این دلایل ما آن نظریه را لحاظ نمی کنیم.

In this treatise we present the semigroup approach to quasilinear evolution equa­ of parabolic type that has been developed over the last ten years, approxi­ tions mately. It emphasizes the dynamic viewpoint and is sufficiently general and flexible to encompass a great variety of concrete systems of partial differential equations occurring in science, some of those being of rather 'nonstandard' type. In partic­ ular, to date it is the only general method that applies to noncoercive systems. Although we are interested in nonlinear problems, our method is based on the theory of linear holomorphic semigroups. This distinguishes it from the theory of nonlinear contraction semigroups whose basis is a nonlinear version of the Hille­ Yosida theorem: the Crandall-Liggett theorem. The latter theory is well-known and well-documented in the literature. Even though it is a powerful technique having found many applications, it is limited in its scope by the fact that, in concrete applications, it is closely tied to the maximum principle. Thus the theory of nonlinear contraction semigroups does not apply to systems, in general, since they do not allow for a maximum principle. For these reasons we do not include that theory.