Linear and Nonlinear Models: Fixed effects, random effects, and total least squares

در اینجا ما یک درمان تقریباً کامل از جهان بزرگ از مدل‌های رگرسیون خطی و ضعیف غیرخطی را در 8 فصل اول ارائه می‌کنیم. دیدگاه ما هم یک دیدگاه جبری و هم یک دیدگاه تصادفی است. به عنوان مثال، یک لم معادل بین بهترین، خطی تخمین یکنواخت بدون سوگیری (BLUUE) در مدل گاوس-مارکف و حل حداقل مربعات (LESS) در سیستم معادلات خطی وجود دارد. در حالی که BLUUE یک مدل رگرسیون تصادفی است، LESS یک راه حل جبری است. در شش فصل اول، ما بر روی سیستم‌های خطی کم‌تعیین‌شده و بیش‌تعیین‌شده و همچنین سیستم‌هایی با نقص مبنا تمرکز می‌کنیم. ما برآوردگرها/راه حل های جبری از نوع MINOLESS، BLIMBE، BLUMBE، BLUUE، BIQUE، BLE، BIQUE و مجموع حداقل مربعات را بررسی می کنیم. نکته برجسته، تعیین همزمان لحظه اول و دومین لحظه مرکزی توزیع احتمال در یک تخمین چند خطی ناهمگن توسط به اصطلاح مطابقت E-D و همچنین طراحی بیز آن است. علاوه بر این، شبکه‌های پیوسته در مقابل شبکه‌های گسسته، استفاده از مختصات Grassmann-Pluecker، ماتریس‌های معیار از نوع Taylor-Karman و همچنین مجموعه‌های FUZZY را مورد بحث قرار می‌دهیم. فصل هفتم تخصصی در درمان یک سیستم بیش از حد تعیین شده از معادلات غیر خطی در منیفولدهای منحنی است. توزیع فون میزس-فیشر برای داده های دایره ای یا کروی (فوق العاده) مشخص است. فصل هشتم آخر ما به رگرسیون احتمالی اختصاص داده شده است، مدل ویژه گاوس-مارکوف با اثرات تصادفی که منجر به برآوردگرهایی از نوع BLIP و VIP از جمله تخمین بیزی می شود.

بخش بزرگی از کار در چهار پیوست ارائه شده است. ضمیمه A درمان جبر تانسوری، یعنی جبر خطی، جبر ماتریسی و جبر چند خطی است. ضمیمه B به توزیع های نمونه گیری و استفاده از آنها از نظر فواصل اطمینان و مناطق اطمینان اختصاص دارد. پیوست C مفاهیم ابتدایی آمار، یعنی رویدادهای تصادفی و فرآیندهای تصادفی را مرور می‌کند. ضمیمه D اصول جبر پایه گروبنر، تعریف دقیق آن، الگوریتم بوخبرگر، به ویژه الگوریتم ترکیبی C. F. Gauss را معرفی می کند.

Here we present a nearly complete treatment of the Grand Universe of linear and weakly nonlinear regression models within the first 8 chapters. Our point of view is both an algebraic view as well as a stochastic one. For example, there is an equivalent lemma between a best, linear uniformly unbiased estimation (BLUUE) in a Gauss-Markov model and a least squares solution (LESS) in a system of linear equations. While BLUUE is a stochastic regression model, LESS is an algebraic solution. In the first six chapters we concentrate on underdetermined and overdeterimined linear systems as well as systems with a datum defect. We review estimators/algebraic solutions of type MINOLESS, BLIMBE, BLUMBE, BLUUE, BIQUE, BLE, BIQUE and Total Least Squares. The highlight is the simultaneous determination of the first moment and the second central moment of a probability distribution in an inhomogeneous multilinear estimation by the so called E-D correspondence as well as its Bayes design. In addition, we discuss continuous networks versus discrete networks, use of Grassmann-Pluecker coordinates, criterion matrices of type Taylor-Karman as well as FUZZY sets. Chapter seven is a speciality in the treatment of an overdetermined system of nonlinear equations on curved manifolds. The von Mises-Fisher distribution is characteristic for circular or (hyper) spherical data. Our last chapter eight is devoted to probabilistic regression, the special Gauss-Markov model with random effects leading to estimators of type BLIP and VIP including Bayesian estimation.

A great part of the work is presented in four Appendices. Appendix A is a treatment, of tensor algebra, namely linear algebra, matrix algebra and multilinear algebra. Appendix B is devoted to sampling distributions and their use in terms of confidence intervals and confidence regions. Appendix C reviews the elementary notions of statistics, namely random events and stochastic processes. Appendix D introduces the basics of Groebner basis algebra, its careful definition, the Buchberger Algorithm, especially the C. F. Gauss combinatorial algorithm.