Lieb-Robinson Bounds for Multi-Commutators and Applications to Response Theory

کروانهای لیب-رابینسون برای چند جابه‌جایی ابزارهای ریاضی مؤثری برای رسیدگی به جنبه‌های تحلیلی دینامیک حجم نامتناهی ذرات کوانتومی غیرنسبیتی با برهمکنش‌های کوتاه برد و احتمالاً وابسته به زمان هستند. به ویژه، وجود راه‌حل‌های اساسی نشان داده شده است. برای آن دسته از سیستم‌های دینامیکی C* (غیر خودمختار) که شرایط معمول موجود در نظریه‌های استاندارد معادلات تکامل غیرخودمختار (پارابولیک یا هذلولی) برای آنها ارائه نشده است. در فیزیک ریاضی، کران‌های چند جابه‌جایی با مرتبه بالاتر از دو را می‌توان برای مطالعه پاسخ‌های خطی و غیرخطی ذرات برهم‌کنش به آشفتگی‌های خارجی مورد استفاده قرار داد. این مرزها برای فرمیون های شبکه، با توجه به کاربردهای نظریه کوانتومی میکروسکوپی هدایت الکتریکی که در این کتاب مورد بحث قرار گرفته است، به دست می آیند. تمام نتایج با تغییرات آشکار در مورد سیستم های اسپین کوانتومی نیز اعمال می شود. به منظور دسترسی به نتایج برای مخاطبان گسترده، به ویژه برای دانش‌آموزان ریاضی با پیش‌زمینه کمی فیزیک، مبانی مکانیک کوانتومی با در نظر گرفتن فرمول جبری آن ارائه شده است. تنظیمات جبری C* برای فرمیون های شبکه، و همچنین کران های مشهور لیب-رابینسون برای جابجایی ها، برای کامل بودن به تفصیل توضیح داده شده است.

Lieb-Robinson bounds for multi-commutators are effective mathematical tools to handle analytic aspects of infinite volume dynamics of non-relativistic quantum particles with short-range, possibly time-dependent interactions.In particular, the existence of fundamental solutions is shown for those (non-autonomous) C*-dynamical systems for which the usual conditions found in standard theories of (parabolic or hyperbolic) non-autonomous evolution equations are not given. In mathematical physics, bounds on multi-commutators of an order higher than two can be used to study linear and non-linear responses of interacting particles to external perturbations. These bounds are derived for lattice fermions, in view of applications to microscopic quantum theory of electrical conduction discussed in this book. All results also apply to quantum spin systems, with obvious modifications. In order to make the results accessible to a wide audience, in particular to students in mathematics with little Physics background, basics of Quantum Mechanics are presented, keeping in mind its algebraic formulation. The C*-algebraic setting for lattice fermions, as well as the celebrated Lieb-Robinson bounds for commutators, are explained in detail, for completeness.