Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction

این کتاب مقدمه‌ای بر گروه‌های دروغ، جبرهای دروغ، و نظریه بازنمایی، با هدف دانشجویان فارغ‌التحصیل در رشته‌های ریاضی و فیزیک ارائه می‌کند. اگرچه در حال حاضر چندین کتاب عالی وجود دارد که بسیاری از موضوعات مشابه را پوشش می دهد، این کتاب دارای دو ویژگی متمایز است که امیدوارم آن را به مضمونی مفید برای ادبیات تبدیل کند. اول، گروه‌های Lie (نه فقط سوتین‌های Lie alge) را به‌گونه‌ای بررسی می‌کند که میزان تئوری منیفولد مورد نیاز را به حداقل می‌رساند. بنابراین، من نه یک دوره قبلی در مورد منیفولدهای متمایز پذیر فرض می کنم و نه چنین دوره فشرده ای را در فصل های ابتدایی ارائه می کنم. دوم، این کتاب مقدمه‌ای ملایم برای ماشین‌های گروه‌های نیمه ساده و جبرهای دروغ با بررسی تئوری بازنمایی SU(2) و SU(3) قبل از رفتن به حالت کلی ارائه می‌کند. این به خواننده اجازه می‌دهد تا ریشه‌ها، وزن‌ها و گروه Weyl \"در عمل\" را در موارد ساده قبل از مواجهه با نظریه کلی ببیند. کتاب‌های استاندارد نظریه دروغ بلافاصله با حالت کلی شروع می‌شوند: یک منیفولد صاف که همچنین یک گروه است. سپس جبر Lie به عنوان فضای میدان های برداری ناتغییر چپ و نگاشت نمایی بر حسب جریان در امتداد چنین میدان های برداری تعریف می شود. این رویکرد بدون شک در دراز مدت درست است، اما برای خواننده ای که برای اولین بار با چنین چیزهایی مواجه می شود، بسیار انتزاعی است.

This book provides an introduction to Lie groups, Lie algebras, and repre­ sentation theory, aimed at graduate students in mathematics and physics. Although there are already several excellent books that cover many of the same topics, this book has two distinctive features that I hope will make it a useful addition to the literature. First, it treats Lie groups (not just Lie alge­ bras) in a way that minimizes the amount of manifold theory needed. Thus, I neither assume a prior course on differentiable manifolds nor provide a con­ densed such course in the beginning chapters. Second, this book provides a gentle introduction to the machinery of semi simple groups and Lie algebras by treating the representation theory of SU(2) and SU(3) in detail before going to the general case. This allows the reader to see roots, weights, and the Weyl group "in action" in simple cases before confronting the general theory. The standard books on Lie theory begin immediately with the general case: a smooth manifold that is also a group. The Lie algebra is then defined as the space of left-invariant vector fields and the exponential mapping is defined in terms of the flow along such vector fields. This approach is undoubtedly the right one in the long run, but it is rather abstract for a reader encountering such things for the first time.