Les Mathematiques pour l'agregation

Notations et définitions usuelles......Page 16
Ensembles ordonnés......Page 18
Graphes......Page 22
Les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel......Page 27
Les ordinaux......Page 29
Les cardinaux......Page 31
L'hypothèse du continu......Page 37
L'axiome de fondation......Page 38
Résumé de théorie des ensembles......Page 39
Cas le plus général d'espace topologique......Page 41
Espaces métriques et espaces normés......Page 42
Fermeture, intérieur, extérieur, frontière......Page 46
Base d'ouverts et base de voisinages......Page 49
Continuité et limite......Page 51
Espace séparé......Page 54
Continuité et limite dans les espaces métriques ou normés......Page 55
Valeur d'adhérence......Page 59
Topologie quotient......Page 60
Topologie définie par une famille de parties d'un ensemble......Page 61
Topologie définie par une famille d'applications......Page 62
Topologie produit......Page 63
Généralités......Page 65
Le théorème de Tykhonov......Page 70
Application aux espaces vectoriels normés......Page 71
Espaces métriques compacts......Page 74
Connexité......Page 76
Suites de Cauchy. Espace complet......Page 82
Complété d'un espace métrique......Page 87
Théorème de Baire......Page 88
Distance d'un point à une partie......Page 91
Approximation d'ouverts par des compacts......Page 93
Intersection vide d'une suite décroissante de fermés convexes non vides bornés d'un espace vectoriel normé......Page 94
Valeurs d'adhérence = limites de suites extraites......Page 95
Le cube de Hilbert......Page 96
Tous les fermés de Rn s'expriment comme zéros de fonctions indéfiniment dérivables......Page 97
Le compactifié d'Alexandrov......Page 99
Le cantor K3......Page 100
Une distance sur les sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie......Page 104
Points fixes......Page 105
f:RR est C et x n / f(n)(x)=0, alors f est polynomiale......Page 107
Les billards strictement convexes......Page 108
Inégalité isopérimétrique......Page 109
Inégalité isodiamétrique......Page 111
Triangulations d'un simplexe - Lemme de Sperner - conséquences......Page 112
Définitions, généralités......Page 119
-algèbre engendrée......Page 121
Mesures......Page 123
-systèmes, d-systèmes, et théorème de Carathéodory......Page 126
Parties non mesurables......Page 127
Fonctions mesurables......Page 128
Suites de fonctions mesurables......Page 129
Fonctions étagées et fonctions simples......Page 131
Fonctions positives......Page 132
Le cas général......Page 134
Théorème de la convergence dominée de Lebesgue. Corollaires......Page 137
Intégration dans les espaces produits. Changement de variable......Page 140
Fonctions définies par des intégrales......Page 144
Continuité, dérivabilité sous le signe......Page 146
Fonctions holomorphes sous le signe......Page 147
Approfondissements sur les mesures complexes......Page 148
Presque recouvrement d'un ouvert de Rn par des petites boules......Page 149
Définitions et généralités......Page 151
Convoluée d'un polynôme......Page 153
Une fonction FONDAMENTALE pour la convolution......Page 154
Quelques résultats utiles......Page 155
Espaces Lp et Lp......Page 157
Théorèmes sur les Lp......Page 158
Espace L2......Page 161
Intercalation d'ouverts relativement compacts entre un ouvert et un compact......Page 163
Séparation d'un compact et d'un fermé......Page 164
Lemme d'Urysohn......Page 166
Partition C de l'unité......Page 167
Approximation de fonctions continues......Page 168
Approximation de fonctions mesurables......Page 171
Dans les espaces Ck ou Lp......Page 172
Densité de l'ensemble des fonctions C à support compact dans Ck(Rn)......Page 173
Densité de l'ensemble des fonctions C à support compact dans Lp(Rn)......Page 174
Approximation dans L1 par des fonctions semi-continues......Page 175
Approximation dans Lp pour p< par des fonctions en escalier à support compact......Page 176
Approximation de fonctions tendant vers 0 en  dans L par des fonctions C à support compact......Page 177
Séries trigonométriques......Page 178
Séries de Fourier d'une fonction périodique......Page 179
Transformation de Fourier......Page 182
Calcul de n=01n2......Page 184
Exemple de développement en série de Fourier: fonction créneau, fonction identité par morceaux......Page 185
Calcul différentiel......Page 186
Généralités......Page 187
Applications à valeurs dans un produit d'espaces vectoriels normés......Page 189
Applications de plusieurs variables et dérivées partielles......Page 190
Résultats principaux......Page 191
Applications : interversion de limite et de dérivation......Page 194
Applications : dérivées partielles et dérivées......Page 195
Théorème d'inversion globale......Page 197
Théorème d'inversion locale......Page 200
Théorème des fonctions implicites......Page 201
Généralités......Page 202
Dérivées secondes......Page 203
Généralisations à la dérivée n-ième......Page 204
Fonction continue partout dérivable nulle part......Page 205
Fonction dérivable dans toutes les directions mais non continue......Page 207
Variétés de Rn, théorème de Jordan......Page 208
Espaces vectoriels normés de dimension finie......Page 210
Résultats liés à la compacité......Page 212
Résultats du second ordre......Page 213
Pour aller plus loin......Page 214
Lemmes préliminaires......Page 215
Avec des hypothèses sympathiques sur f......Page 216
Sans hypothèse sympathique sur f......Page 219
Equation différentielle d'ordre n......Page 220
Equation différentielle linéaire du premier ordre......Page 221
Equations différentielles autonomes......Page 226
Equation de la chaleur......Page 227
Equation de Ricatti (polynôme à coefficients dépendant de t de degré 2 en x)......Page 229
Equation de Lagrange......Page 230
Définition d'une forme différentielle......Page 231
Propriétés des applications multilinéaires......Page 232
Application de tout ça aux formes différentielles......Page 233
Rappels sur le corps des réels......Page 234
Les nombres complexes......Page 235
Définition de l'intégration au sens de Riemann......Page 236
Lien entre intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue......Page 239
Suites......Page 240
Suites réelles......Page 241
Séries......Page 243
Du théorème de Rolle aux formules de Taylor......Page 247
La trigonométrie......Page 253
Primitives de G(x)=F(cos(x),sin(x))......Page 254
Primitives de H(x)=F(ch(x),sh(x))......Page 255
Primitives abéliennes......Page 256
Intégrales de Wallis......Page 257
Primitives de f, f'f=a/x+o(1/x)......Page 258
Méthode de Laplace......Page 260
Constante  d'Euler......Page 262
Construction de séries divergentes positives toujours plus petites......Page 263
Groupement de termes......Page 264
Exponentielle d'un endomorphisme......Page 265
Transformation d'Abel......Page 266
Produit de convolution de deux séries......Page 268
Transformation de Toeplitz......Page 270
Définitions de base......Page 273
Opérations sur les équivalents et les développements limités......Page 276
Développements asymptotiques......Page 280
Equivalent de la suite des sommes partielles Un=k=0n uk......Page 282
Comparaison séries-intégrales, cas f'f convergent......Page 283
Zoologie des développements limités......Page 284
Interversion de limites et de limites......Page 285
Interversion d'une limite et d'une intégrale......Page 286
L'indispensable: le lemme d'Abel......Page 288
A l'intérieur du disque de convergence......Page 289
Formule d'Hadamard......Page 291
Dérivation des séries entières......Page 292
Développement en série entière......Page 293
L'exponentielle complexe......Page 295
Séries formelles et série génératrice......Page 296
Généralités......Page 297
Vers le théorème de Cauchy......Page 298
Théorème de Montel......Page 309
Fonctions holomorphes tendant vers l'infini en l'infini......Page 310
Sphère de Riemann C"0362C - Fonctions holomorphes sur C"0362C......Page 311
Hahn-Banach......Page 314
Le théorème de Baire et ses conséquences......Page 319
Autres définitions et propriétés indispensables......Page 321
Quelques convergences dans les espaces de fonctions......Page 322
Théorie......Page 327
Applications......Page 331
La hiérarchie des Ck(), avec  ouvert de Rn......Page 332
La topologie faible......Page 336
Dans le cas général......Page 337
Espaces Lip()......Page 339
Espaces Ck,()......Page 340
La topologie faible n'est pas la topologie forte en dimension infinie......Page 341
Les topologies sur E'......Page 342
Un résultat utilisant le théorème d'isomorphisme de Banach, le théorème d'Ascoli et le théorème de Riesz......Page 343
Définition d'un groupe......Page 346
Sous-groupe......Page 347
Homomorphismes......Page 348
Sous-groupe engendré......Page 349
Le cas des groupes......Page 351
Le théorème de Lagrange......Page 352
Opération d'un groupe sur un ensemble......Page 353
Produits......Page 356
Produit semi-direct......Page 357
Identifier un produit direct ou semi-direct......Page 358
Quelques remarques pour éviter les gaffes......Page 359
Théorèmes de Sylow. Groupes de Sylow......Page 360
Démontrer qu'un groupe n'est pas simple juste au vu de son cardinal......Page 362
Groupes abéliens......Page 363
Z/nZ......Page 366
Divers......Page 367
Opération d'un groupe G sur lui-même par translation à gauche......Page 368
Zoologie des groupes......Page 369
Groupe linéaire et groupe spécial linéaire......Page 370
Groupe orthogonal et groupe spécial orthogonal......Page 371
Groupe orthogonal réel et groupe spécial orthogonal réel......Page 374
Groupe affine d'un espace affine......Page 375
Groupe projectif d'un espace vectoriel de dimension finie......Page 376
Groupe unitaire et groupe spécial unitaire d'un espace hermitien......Page 377
Groupe des similitudes d'un espace euclidien......Page 378
Groupe des quaternions......Page 379
Groupe symétrique......Page 380
Application des groupes à la géométrie......Page 387
Définitions......Page 388
Idéaux, anneaux quotients......Page 392
Décomposition d'un homomorphisme d'anneaux et utilisation des idéaux......Page 395
Anneaux euclidiens......Page 397
Anneaux noethériens......Page 398
Anneaux intègres......Page 399
Anneaux factoriels......Page 400
Z/nZ......Page 401
Idéaux étrangers......Page 405
Extensions de corps......Page 407
Corps finis......Page 409
Sous-groupes additifs de R......Page 411
Représentation p-adique des réels......Page 412
Fractions continues......Page 413
Cryptographie à clé révélée: RSA......Page 414
Généralités......Page 416
Division euclidienne......Page 417
Fonction associée, racines d'un polynôme......Page 418
Cas où A=K est un corps......Page 419
Relations entre les racines et les coefficients d'un polynôme - localisation des racines d'un polynôme......Page 420
Polynômes irréductibles......Page 421
Résultant. Discriminant......Page 422
Division suivant les puissances croissantes......Page 423
Polynômes de Tchebycheff de première espèce......Page 424
Tout polynôme positif est somme de deux carrés......Page 425
Polynômes à plusieurs indéterminées......Page 426
Généralités......Page 427
Polynômes symétriques......Page 428
Généralités......Page 430
Applications linéaires......Page 434
Généralités......Page 435
Espaces supplémentaires......Page 436
Application aux applications linéaires......Page 439
Translations - espaces affines......Page 440
Généralités......Page 441
Applications aux sous-espaces vectoriels......Page 442
Orthogonalité......Page 443
Définitions et généralités......Page 444
Exercices d'algèbre linéaire......Page 445
Algèbre multilinéaire......Page 446
Généralités......Page 447
Algèbre multilinéaire et topologie......Page 450
Déterminant d'une famille de vecteurs......Page 451
Déterminant d'un endomorphisme......Page 452
Déterminant d'une matrice......Page 453
Pratique du calcul d'un déterminant; développement suivant une ligne ou une colonne......Page 454
Formes bilinéaires......Page 455
Formes quadratiques......Page 457
Formes quadratiques réelles......Page 462
Formes quadratiques complexes......Page 468
Déterminant d'ordre 3......Page 470
Déterminant de Vandermonde......Page 471
Déterminant circulant droit......Page 472
Procédé d'orthogonalisation de Gauss......Page 473
Espaces préhilbertiens réels......Page 474
Espaces préhilbertiens complexes......Page 476
Espaces préhilbertiens......Page 478
Espaces de Hilbert......Page 481
Projection dans un espace de Hilbert......Page 482
Bases hilbertiennes......Page 484
Quelques utilisations des espaces de Hilbert......Page 487
Les bases......Page 488
Endomorphisme adjoint......Page 489
Orientation d'un espace euclidien......Page 493
Définition et premières propriétés......Page 497
Adjoint d'un endomorphisme d'un espace hermitien......Page 498
Formes quadratiques sur un espace hermitien E......Page 500
Généralités......Page 501
Dualité simple......Page 505
Orthogonalité......Page 506
Bases sur les matrices......Page 508
Transposition de matrices......Page 510
Le cas des matrices carrées: la K-algèbre Mn,p(K)......Page 511
Groupe orthogonal réel et groupe spécial orthogonal réel......Page 513
Rang d'une matrice......Page 514
Matrices équivalentes, matrices semblables......Page 515
Cofacteurs......Page 516
Opérations sur les lignes et les colonnes......Page 518
Inverse par blocs......Page 522
Zoologie sur les matrices et leurs déterminants......Page 523
Polynômes de Lagrange......Page 524
Approximation de fonctions holomorphes par des fractions rationnelles......Page 525
Endomorphismes semi-simples......Page 529
Réduction des endomorphismes......Page 532
Le cas général......Page 533
Le cas de la dimension finie......Page 534
Application au calcul d'un polynôme d'endomorphisme......Page 541
Application aux suites récurrentes linéaires......Page 542
Calcul d'exponentielle de matrice......Page 543
Géométrie affine......Page 544
Définitions et généralités......Page 545
Barycentre......Page 546
Coordonnées cartésiennes, coordonnées barycentriques......Page 547
Applications affines......Page 549
Sous-espaces affines d'un espace affine......Page 551
Projections dans un espace affine......Page 553
Symétries dans un espace affine......Page 554
Définitions supplémentaires......Page 555
Pour se ramener à l'algèbre linéaire......Page 556
Etude de quadriques en dimension 3......Page 557
Exemples très banals d'espaces affines......Page 558
Solutions d'une équation différentielle......Page 559
Pour les algébristes, action du groupe additif d'un espace vectoriel sur un ensemble......Page 560
Théorie......Page 561
Visualisation......Page 563
La théorie......Page 564
La visualisation......Page 567
Topologie des espaces projectifs réels ou complexes......Page 569
La dualité......Page 570
Théorème de Pappus......Page 571
Théorème de Desargues......Page 572
Dimension 2......Page 573
La droite de Simson et quelques suites......Page 575
 Le cercle des neuf points, et une suite par Coolidge......Page 578
Ensemble des applications de E dans F......Page 581
Ensemble des applications croissantes de E vers F......Page 582
Combinaisons......Page 583
Quelques applications......Page 584
Une formule utile......Page 585
Familles sommables infinies......Page 586
Espaces mesurés......Page 587
Définitions de base......Page 588
Définitions : variable aléatoire, loi, fonction de répartition......Page 589
Variables aléatoires indépendantes......Page 591
Espérance......Page 595
Somme de variables aléatoires et transformée de Fourier......Page 603
Martingales......Page 606
Lois normales......Page 609
Loi binomiale et multinomiale......Page 610
Loi hypergéométrique......Page 612
Loi des grands nombres......Page 613
Théorème central limite......Page 614
Inégalité de Cramer-Chernoff, grandes déviations......Page 615
Application des probabilités au calcul d'intégrales......Page 617
Application à l'évaluation de la perte de précision dans un algorithme......Page 618
Proportion de diviseurs de n dans [1,i]......Page 619
Processus de branchement......Page 621
Calcul de surface minimale......Page 622
Définitions......Page 627
Applications des probabilités à l'échantillonnage......Page 629
Formulaires......Page 631
Espaces topologiques......Page 632
Dérivation de limites......Page 633
L'indispensable sous le signe intégral......Page 634
Les séries entières......Page 635
Densité, approximation......Page 636
Trigonométrie......Page 637
Primitives usuelles......Page 638
développements limités......Page 640
Espaces Lp(X) et Lp(X), ou LpC(X) et LpC(X)......Page 641
Série de Fourier - cas f 2-périodique......Page 642
Espaces de Hilbert......Page 643
Réduction en dimension finie - propriétés de matrices particulières......Page 644
Fonctions holomorphes......Page 646
Reconnaître un groupe G d'ordre n......Page 647
Etude d'un groupe fini G......Page 648
Calcul différentiel......Page 649
Equations différentielles......Page 650