Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie: Das Wichtigste ausführlich für das Lehramts- und Bachelorstudium

Cover......Page 1
Lineare Algebra......Page 3
Lernbuch
Lineare Algebra und
Analytische Geometrie......Page 4
ISBN 9783834808387......Page 5
Vorwort......Page 6
Inhalt......Page 8
0.1.1 Zahlen......Page 13
0.1.2 Der Vektorraum......Page 19
0.1.3 Multiplikation von Vektoren......Page 23
0.2.2 Geraden im......Page 24
0.2.3 Geraden in der Ebene......Page 28
0.3.1 Das Skalarprodukt im......Page 32
0.3.2 Anwendungen in der Elementargeometrie......Page 34
0.3.3 Winkel im......Page 38
0.3.4 Senkrechte Vektoren und Abstände......Page 45
0.3.5 Die HESSEsche Normalform einer Geradengleichung......Page 47
0.3.6 Lineare Unabhängigkeit......Page 50
0.3.7 Das Vektorprodukt im......Page 53
0.3.8 Abstand von Geraden......Page 57
0.4.1 Ebenen im......Page 62
0.4.2 Ebenen im......Page 66
0.4.3 Abstand eines Punktes von einer Ebene......Page 70
0.4.4 Das Spatprodukt......Page 72
0.5.1 Zwei Geraden in der Ebene......Page 75
0.5.2 Beschreibung durch Matrizen......Page 77
0.5.3 Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform......Page 78
0.5.4 Das Eliminationsverfahren nach GAUSS......Page 84
0.5.5 Wahl des Pivots und Rundungsfehler......Page 88
1.1.1 Mengen und Teilmengen......Page 91
1.1.2 Operationen mit Mengen......Page 93
1.1.3 Abbildungen......Page 95
1.1.4 Abzählbare Mengen......Page 99
1.1.5 Äquivalenzrelationen......Page 103
1.2.1 Die natürlichen Zahlen*......Page 108
1.2.2 Verknüpfungen und Halbgruppen......Page 113
1.2.3 Gruppen......Page 115
1.2.4 Die ganzen Zahlen als additive Gruppe*......Page 118
1.2.5 Untergruppen und Homomorphismen......Page 122
1.3.1 Die ganzen Zahlen als Ring......Page 124
1.3.2 Der Körper der rationalen Zahlen......Page 129
1.3.3 Dezimalbruchentwicklung rationaler Zahlen*......Page 136
1.3.4 Konstruktion der reellen Zahlen*......Page 140
1.3.5 Reelle Zahlen als Dezimalbrüche*......Page 148
1.3.6 Komplexe Zahlen......Page 153
1.3.7 Endliche Körper*......Page 159
1.3.8 Rückblick und Ausblick......Page 165
1.4.1 Polynome und Polynomfunktionen......Page 167
1.4.2 Der Ring der Polynome......Page 168
1.4.3 Division mit Rest......Page 170
1.4.4 Nullstellen von Polynomen......Page 171
1.4.5 Eine Vorzeichenregel für reelle Polynome......Page 175
1.4.6 Der Fundamentalsatz der Algebra......Page 176
Kapitel 2 Vektorräume und
lineare Abbildungen
......Page 183
2.1.1 Vektorräume......Page 184
2.1.2 Untervektorräume......Page 187
2.1.3 Operationen mit Untervektorräumen......Page 188
2.1.4 Lineare Unabhängigkeit......Page 191
2.2.1 Erzeugendensysteme und Basen......Page 198
2.2.2 Dimension eines Vektorraums......Page 201
2.2.3 Charakterisierungen einer Basis......Page 205
2.2.4 Praktische Verfahren zur Bestimmung einer Basis......Page 208
2.2.5 Summen und direkte Summen......Page 212
2.2.6 Der Rang einer Matrix......Page 216
2.3.1 Definitionen und Beispiele......Page 222
2.3.2 Elementare Eigenschaften linearer Abbildungen......Page 226
2.3.3 Spezielle lineare Abbildungen......Page 229
2.3.4 Eine Dimensionsformel für lineare Abbildungen......Page 233
2.3.5 Lineare Gleichungssysteme......Page 235
2.3.6 Quotientenvektorräume......Page 240
2.4.1 Erzeugung linearer Abbildungen......Page 246
2.4.2 Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung......Page 248
2.4.3 Multiplikation von Matrizen......Page 252
2.4.4 Rechenregeln für Matrizen......Page 257
2.4.5 Die allgemeine lineare Gruppe......Page 261
2.4.6 Elementarmatrizen......Page 263
2.4.7 Lineare Gleichungssysteme und Elementarmatrizen......Page 270
2.5.1 Basistransformationen und Koordinatentransformationen......Page 272
2.5.2 Transformationsformel für lineare Abbildungen......Page 275
2.5.3 Eine Normalform für darstellende Matrizen......Page 277
3.1.1 Lineare Gleichungssysteme......Page 281
3.1.2 Flächeninhalt und Orientierung......Page 282
3.2.1 Axiome für Determinanten......Page 287
3.2.2 Weitere Eigenschaften der Determinante......Page 290
3.2.3 Permutationen......Page 297
3.2.4 Die alternierende Gruppe......Page 303
3.2.5 Existenz und Eindeutigkeit......Page 304
3.3.1 Die komplementäre Matrix......Page 309
3.3.2 LAPLACE-Entwicklung......Page 311
3.3.3 Die CRAMERsche Regel......Page 312
4.1.1 Eigenwerte und Eigenvektoren......Page 313
4.1.2 Endomorphismen des......Page 316
4.1.3 Differentialgleichungen......Page 318
4.1.4 Das charakteristische Polynom......Page 323
4.2.1 Diagonalisierbarkeit......Page 327
4.2.2 Geometrische und algebraische Vielfachheit......Page 329
4.2.3 Rechenverfahren zur Diagonalisierung......Page 333
4.2.4 Trigonalisierung*......Page 335
4.2.5 Zerlegung in Haupträume*......Page 341
4.2.6 Nilpotente Endomorphismen*......Page 347
4.2.7 Die JORDANsche Normalform*......Page 352
5.1.1 Die Gleichungen der ebenen Schnitte eines Kreiskegels......Page 355
5.1.2 Geometrische Eigenschaften der Kegelschnitte......Page 358
5.2.1 Definitionen und beschreibende Matrix......Page 363
5.2.2 Transformationsformel für darstellende Matrizen......Page 365
5.2.3 Entartung und Rang einer Bilinearform......Page 366
5.2.4 Diagonalisierung einer symmetrischen Bilinearform......Page 368
5.2.5 Das Trägheitsgesetz von SYLVESTER......Page 372
5.2.6 Exkurs über affine Geometrie......Page 375
5.2.7 Quadriken......Page 379
5.3.1 Hermitesche Formen......Page 392
5.3.2 Definitheit......Page 393
5.3.3 Orthogonalität......Page 399
5.3.4 Orthogonale und unitäre Endomorphismen......Page 403
5.3.5 Selbstadjungierte Endomorphismen......Page 411
5.3.6 Hauptachsentransformation von Quadriken......Page 415
5.3.7 Ausblick......Page 425
Literaturverzeichnis......Page 427
Index......Page 429
Symbolverzeichnis......Page 435