LEHRBUCH - Mathematik II - Analysis und Numerik

Inhaltsverzeichnis
 5.2.2 Mit Grenzwerten rechnen
 69
5.2.3 Schranke, Monotonie, Inf & Sup
 72
5.2.4 Ein Konvergenzkriterium für reelle Folgen 76
5.2.5 Teilfolgen und Häufungspunkte
 78
5.2.6 Cauchyfolgen
 89
1 Analysis und Numerik
 11
 5.3 Reihen
 91
1.1 Analysis
 11
 5.3.1 Einige wichtige Reihen
 94
1.2 Numerik
 14
 5.4 Grenzverhalten von Reihen
 98
5.4.1 Notwendige Konvergenzbedingung 99
2 Reelle Zahlen
 17
 5.4.2 Absolute Konvergenz
 99
2.1 Die reellen Zahlen beschreiben
 19
 5.4.3 Das Majorantenkriterium
 100
2.1.1 Die reellen Zahlen konstruktiv beschreiben 19
 5.4.4 Das Leibnitz-Kriterium
 102
2.1.2 Die reellen Zahlen axiomatisch beschr. . . 20
 5.4.5 Wurzelkriterium
 103
2.2 Die Mächtigkeit der reellen Zahlen
 25
 5.4.6 Quotientenkriterium
 104
2.2.1 Abzählbarkeit
 25
6 Funktionen und Folgen
 107
3 Komplexe Zahlen
 29
 6.1 Eine Konvergenz für reelle Funktionen
 108
3.1 Die komplexen Zahlen
 31
 6.1.1 Konvergenz & verknüpfte Funktionen .
 114
3.1.1 Die imaginäre Einheit
 31
 6.2 Konvergenz mehrdimensionaler Funktionen . .
 115
3.1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen
 32
 6.3 Funktionenfolgen
 119
3.2 Nullstellen von Polynomgleichungen
 36
3.3 Die komplexe Zahlenebene
 38
 7 Stetigkeit
 122
7.1 Stetigkeit
 122
3.3.1 Betrag und Argument komplexer Zahlen 38
3.3.2 Konjugiert komplexe Zahlen
 39
 7.1.1 Varianten der Stetigkeit
 124
7.2 Analyse reeller stetiger Funktionen
 128
3.4 Polardarstellung komplexer Zahlen
 41
7.2.1 Der Zwischenwertsatz
 128
4 Zahlendarstellung
 46
 7.2.2 Der Satz von Heine
 130
4.1 Zahldarstellung im positionellen Zahlsystem
 46
 7.2.3 Der Satz vom Minimum und Maximum 131
4.1.1 Natürliche Zahlen zu einer Basis
 47
 7.3 Stetig fortsetzbare Funktionen
 133
4.2 Maschinenzahlen
 50
 7.3.1 Gebrochen-rationale Funktionen
 135
4.2.1 Darstellung von ganzen Zahlen
 51
 7.4 Stetigkeit mehrdimensionaler reeller Funktionen 140
4.2.2 Gleitkommazahlen
 52
 7.4.1 Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen 140
4.2.3 Binäre Gleitkommazahlen mit „hidden Bit" 53
8 Die Ableitung
 141
5 Folgen und Reihen
 55
 8.1 Die eindimensionale Ableitung
 142
5.1 Folgen
 56
 8.1.1 Alternative Beschreibung der Ableitung . 145
5.1.1 Graphische Darstellung von Folgen . . 59
 8.1.2 Höhere Ableitungen
 146
5.2 Grenzverhalten von Folgen
 62
 8.2 Rechenregeln für Ableitungen
 147
5.2.1 Grenzwert, Konvergenz & Divergenz . . . 62
 8.2.1 Die Summenregel
 147
9
• INHALTSVERZEICHNIS
8.2.2 Die Produktregel
 148
 11 Polynominterpolation
 220
8.2.3
 Die
 Kettenregel
 150
 11.1 Polynome - Definition und Eigenschaften . . . . 221
8.2.4 Die Quotientenregel
 151
 11.1.1 Homer-Schema
 223
8.2.5 Die Ableitung der Umkehrfunktion . . . 153
 11.2 Polynominterpolation
 224
8.3
 Der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) 154
 11.2.1 Existenz und Eindeutigkeit der Polyno-
8.4
 Die mehrdimensionale Ableitung
 156
 minterpolation
 226
8.4.1 Die partielle Ableitung
 159
 11.2.2 Interpolationsfehler
 228
8.4.2 Höhere partielle Ableitungen
 167
 11.3 Verfahren zur Berechnung des Interpolationspo-
8.5
 Extremstellen für eindimensionale Funktionen 169
 lynoms von kleinem Grad
 232
8.5.1 Wachstum von Funktionen
 169
 11.3.1 Lagrange-Interpolation
 232
8.5.2 Extrema einer Funktion
 171
 11.3.2 Aitken-Neville-Interpolation
 237
8.6
 Extremstellen für mehrdimensionale Funktionen 177
 11.3.3 Newton-Interpolation
 241
8.6.1 Extrema im Mehrdimensionalen
 177
 11.4 Spline Interpolation
 244
8.7
 Taylorentwicklung
 181
 11.4.1 Kurzschreibweise für Splines
 246
8.7.1 Das Taylorpolynom
 181
 11.4.2 Kubische Splines
 248
8.7.2 Beispiele der Taylorentwicklung
 183
12 Nummerische
Integration
 252
9 Nullstellen nummerisch finden
 186
12.1 Numerische Integration - Einleitung
 253
9.1 Iterationsverfahren - Einführung
 187
12.2 Die Newton-Cotes-Formeln
 255
9.2 Der Banachsche Fixpunktsatz
 190
12.2.1 Äquidistanten Stützstellen
 259
9.3 Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung
 193
12.3 Newton-Cotes-Formeln von kleinem Grad . .
 261
9.3.1 Das Newton-Verfahren
 193
12.3.1 Die Trapezregel
 262
9.3.2 Das Sekanten-Verfahren
 194
12.3.2 Die Simpsonregel
 263
10 Das Integral
 197
 12.3.3 Die e-Regel
 264
12.4 Quadraturfehler
 266
10.1 Das bestimmte Integral
 200
10.1.1 200
 12.4.1 Exakte Quadraturformeln
 266
Der orientierte Flächeninhalt
12.4.2 Quadraturfehler für beliebige Funktionen 267
10.1.2 Das Integral von Treppenfunktionen . . 201
12.4.3 Die summierten Newton-Cotes-Formeln . 267
10.1.3 Das Integral allgemeiner Funktionen . . 203
10.1.4 Rechenregeln für das Integral
 210
13 Fehlerabschätzung
 269
10.2 Der Mittelwertsatz (der Integralrechnung) . 213
13.1 Runden von Inputzahlen
 270
10.3 Der Hauptsatz der Different.- & Integralrechnung214
13.2 Fortpflanzung des Rundungsfehlers
 274
10.3.1 Integrale berechnen
 216
10.3.2 Zwei Integrationshilfen
 217
 Symbolverzeichnis
 283