Lectures on Vanishing Theorems

مقدمه قضیه ناپدید شدن M. Kodaira، که می گوید معکوس یک نوار معکوس گسترده روی یک منیفولد مختلط تصویری X هیچ همومولوژی زیر بعد X ندارد و تعمیم آن به دلیل Y. Akizuki و S. Nakano بوده است. در اصل با روش هایی از هندسه دیفرانسیل ثابت شده است ([39J و [1]). حتی اگر به دلیل قضایای GAGA J.P. Serre [56J و تغییر پایه برای گسترش میدان، آنالوگ جبری برای منیفولدهای تصویری بیش از یک میدان k با مشخصه p = 0 به دست آمد، برای مدت طولانی هیچ اثبات جبری و تعمیم به p وجود نداشت. > 0، به جز منیفولدهای با ابعاد پایین تر. بدتر از آن، مثال‌های متقابل ناشی از M. Raynaud [52J] نشان داد که در مشخصه p > 0 برخی مفروضات اضافی مورد نیاز است. تا زمانی که P. Deligne و 1. Illusie [12J] انحطاط دنباله طیفی Hodge به de Rham را برای منیفولدهای تصویری X تعریف شده در یک میدان k با مشخصه p > 0 و قابل برداشتن به بردارهای Witt دوم W2 ثابت کردند، این وضعیت هنر بود. (ک). استدلال های انحطاط استاندارد اجازه می دهد تا انحطاط دنباله طیفی هاج به دی رام را در مشخصه صفر نیز استنباط کنیم، نتیجه ای که دوباره فقط با روش های هندسی تحلیلی و دیفرانسیل از قبل بدست می آید. به عنوان نتیجه روشهای آنها، M. Raynaud (محل نقل قول) اثبات آسانی مبنی بر ناپدید شدن Kodaira در همه مشخصات ارائه کرد، به شرط اینکه X به W2(k) برود.

Introduction M. Kodaira's vanishing theorem, saying that the inverse of an ample invert­ ible sheaf on a projective complex manifold X has no cohomology below the dimension of X and its generalization, due to Y. Akizuki and S. Nakano, have been proven originally by methods from differential geometry ([39J and [1]). Even if, due to J.P. Serre's GAGA-theorems [56J and base change for field extensions the algebraic analogue was obtained for projective manifolds over a field k of characteristic p = 0, for a long time no algebraic proof was known and no generalization to p > 0, except for certain lower dimensional manifolds. Worse, counterexamples due to M. Raynaud [52J showed that in characteristic p > 0 some additional assumptions were needed. This was the state of the art until P. Deligne and 1. Illusie [12J proved the degeneration of the Hodge to de Rham spectral sequence for projective manifolds X defined over a field k of characteristic p > 0 and liftable to the second Witt vectors W2(k). Standard degeneration arguments allow to deduce the degeneration of the Hodge to de Rham spectral sequence in characteristic zero, as well, a re­ sult which again could only be obtained by analytic and differential geometric methods beforehand. As a corollary of their methods M. Raynaud (loc. cit.) gave an easy proof of Kodaira vanishing in all characteristics, provided that X lifts to W2(k).